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Euler, Leonhard

(italiano Eulero). Matematico svizzero (Basilea 1707-Pietroburgo 1783). Allievo di Jean Bernoulli, studiò all'Università di Basilea teologia, medicina, astronomia e lingue orientali. Recatosi in Russia nel 1727, fu nominato professore di fisica all'Accademia di Pietroburgo nel 1730 e nel 1733 succedette a Daniel Bernoulli nella cattedra di matematica. Nel 1741 accolse l'invito di Federico il Grande e passò all'Accademia di Berlino, dove restò sino al 1766, anno in cui tornò definitivamente a Pietroburgo come direttore di quell'accademia. Fino alla morte diede esempio di una fecondità scientifica eccezionale (886 scritti, non tutti editi), nonostante che dal 1735 fosse colpito da progressiva cecità. Ha lasciato una profonda impronta in ogni campo della matematica con risultati originali e introducendo notazioni, terminologie e simboli nuovi. Tra le sue opere rivestono particolare interesse la Mechanica (1736), che contiene la prima trattazione in forma analitica della dinamica di Newton; l'Introductio analysis infinitorum (1748) dove si trova la prima definizione generale di funzione, una trattazione analitica delle funzioni trigonometriche e la celebre formula che lega le funzioni circolari alla funzione esponenziale; dedicò ricerche anche allo studio delle serie. Nelle Institutiones calculi differentialis (1755) distinse tra equazioni a derivate ordinarie e a derivate parziali ed elaborò un metodo per integrare le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Nelle Institutiones calculi integralis (1768-70) espose, tra altri risultati, le funzioni integrali che da lui prendono nome. Pose le basi del calcolo delle variazioni; in geometria analitica introdusse le coordinate polari; svolse ricerche sulle coniche e sulle quadriche. Assai famosa fu la raccolta di lezioni di astronomia, fisica e filosofia Lettere a una principessa tedesca (1761), in cui Euler illustra le relazioni logiche con analogie geometriche (cerchi di Euler) così da farle sembrare intuitivamente evidenti. § Per il teorema di Euler e l'indicatore di Euler, nella teoria delle congruenze, vedi congruenza e aritmetico.

In meccanica razionale, terna di angoli con i quali si indica la posizione di un solido con un punto fisso nell'origine della terna, ovvero la posizione di una terna trirettangola oξηζ rispetto a un'altra oxyz; i tre angoli φ, ϑ ψ si chiamano rispettivamente angolo di rotazione propria, angolo di nutazione, angolo di precessione "Vedi disegno vol. IX, pag. 228" . Quest'ultimo è compreso tra l'asse x e la retta n, detta linea dei nodi, individuata dall'intersezione del piano oξη con il piano oxy. "Per gli angoli di Euler vedi figura al lemma dell'8° volume."

Nel 1750 Euler afferma che, data una superficie poliedrica con v vertici, s spigoli e f facce si ha v-s+f=2. Si veda l'esempio di un cubo, "Vedi disegno vol. IX, pag. 228" e l'esempio di un tetraedro. "Vedi disegno vol. IX, pag. 228" Nel 1752 egli dimostra tale formula che viene detta formula di Eulero. La dimostrazione contiene però alcune inprecisioni. La prima dimostrazione rigorosa di ciò viene data alla fine del secolo dal matematico francese Adrien Marie Legendre. Nel 1813 il matematico svizzero Lhuilier mostra che per alcuni poliedri si ha v-s+f≠2. La superficie poliedrica ottenuta da un cubo facendogli un buco interno "Vedi disegno vol. IX, pag. 228" ha v-s+f=4; la superficie poliedrica disegnata in figura D, "Vedi disegno vol. IX, pag. 228" detta toro a un buco, ha v-s+f=0; la superficie poliedrica disegnata in figura E, "Vedi disegno vol. IX, pag. 228" detta toro con due buchi, ha v-s+f=-2. Questo tipo di superfici poliedriche erano implicitamente escluse da Euler e da Legendre. Nel 1847 il matematico tedesco Von Staudt enuncia le condizioni che devono essere soddisfatte da una superficie poliedrica affinché per essa sia valida la formula di Euler. Esse sono: a) la superficie deve essere connessa per archi; dati cioè comunque due punti di essa, è possibile determinare su essa una curva che li congiunga; b) la superficie è divisa in due parti da ogni curva chiusa. Il cubo e il tetraedro (figure A e B) verificano le due condizioni. La superficie della figura C non verifica la condizione a). Non è infatti possibile congiungere un punto del cubo interno con un punto del cubo esterno. Le superfici delle figure D ed E verificano la condizione a) ma non verificano la condizione b). Le curve disegnate in rosso non le dividono in due parti. Nel 1851 il matematico tedesco G. F. B. Riemann associa a ogni superficie un numero r, detto ordine di connessione; esso è il massimo numero di curve tracciabili sulla superficie senza dividerla in più parti. La formula di Euler e le eccezioni di Lhuilier possono essere così enunciate: per una superficie poliedrica connessa per archi si ha v-s+f=2-r. Il cubo e il tetraedro hanno r=0, il toro a un buco ha r=2, il toro a due buchi ha r=4. Nel 1871 il matematico italiano Enrico Betti generalizza l'ordine di connnessione di Riemann associando a ogni varietà X di dimensione n (generalizzazione delle superfici) n numeri b0, b₁,..., bn, che verranno chiamati dal matematico francese Jules Henry Poincaré numeri di Betti; il numero bi, con i=0,1,..., n, della varietà X è dato dal rango dell'i-simo gruppo di omologia di X. Il numero di Betti b₁ è uguale all'ordine di connessione di Riemann r. Per varietà connesse per archi il numero di Betti b0 è uguale a 1. Nel 1895 Poincaré definisce i poliedri di dimensione n, generalizzazione delle superfici poliedriche, e associa a ogni poliedro il numero

dove α0 è il numero dei vertici, α₁ è il numero degli spigoli, α₂ è il numero delle facce 2-dimensionali, ..., α è il numero delle facce n-dimensionali. Egli dimostra che si ha

Questa formula è una generalizzazione della formula di Euler e viene detta formula di Euler-Poincaré. Tale formula dimostra che il numero χ dipende solamente dalle caratteristiche topologiche del poliedro e non dal numero di vertici, spigoli, facce, ecc. in cui esso è suddiviso. Il numero χ associato al poliedro si dice caratteristica di Euler-Poincaré del poliedro. Nel 1930 il matematico di origine russa Solomon Lefschetz definisce, per uno spazio topologico qualsiasi, i gruppi di omologia; il rango di questi gruppi è una generalizzazione dei numeri di Betti bi. Nel 1949 il matematico inglese J. H. C. Whitehead definisce i complessi cellulari, generalizzazione dei poliedri. Ogni complesso cellulare è formato da 0-celle (generalizzazione dei vertici), 1-celle (generalizzazione degli spigoli), 2-celle (generalizzazione delle facce),..., n-celle (generalizzazione delle n-facce). Il numero χ del complesso cellulare viene definito in modo analogo alla definizione di Poincaré. Whitehead generalizza al caso dei complessi cellulari la formula di Euler-Poincaré.

Costante che interviene nella teoria delle funzioni euleriane beta e gamma.

In logica matematica, schemi costituiti da due o più cerchi e rappresentanti graficamente relazioni di inclusione; sono casi particolari dei diagrammi di Venn.

A) Equazioni indefinite del moto di un fluido perfetto. B) Equazioni del moto di un corpo rigido attorno a un punto fisso.

In analisi matematica, relazione che lega le funzioni circolari alla funzione esponenziale nel campo complesso: e=cosz+isinz. In geometria differenziale, relazione che esprime la curvaturac di una sezione normale di una superficie in funzione delle sezioni principali c₁ e c₂ e dell'angolo φ formato dal piano della sezione normale considerata e quello di una delle sezioni principali: c=c₁cos+c₂sin. Nella scienza delle costruzioni, formula per la determinazione del carico critico, espresso attraverso il valore dello sforzo assiale corrispondente (Pcr), nelle aste snelle caricate di punta: , dove E è il modulo di elasticità longitudinale (modulo di Joung), A è l'area della sezione normale, λ è il coefficiente di snellezza che tiene conto del momento d'inerzia e della lunghezza dell'asta.

Dato un triangolo, il baricentro (punto di intersezione delle mediane del triangolo), il circocentro (punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo) e l'ortocentro (punto di intersezione delle altezze del triangolo) sono allineati. La retta che li contiene si dice retta di Euler.

Sia data una sfera e tre suoi punti non appartenenti a un cerchio massimo (circonferenza ottenuta dalla sfera intersecandola con un piano passante per il centro della sfera). Il triangolo di Euler è il triangolo sferico avente come vertici i tre punti della sfera e come lati i tre archi di cerchi massimi passanti per due dei tre punti.

R. Fueter, Leonhard Euler, Basilea, 1948; C. B. Boyer, A History of Mathematics, New York, 1968; N. Bourbaki, Eléments d'histoire de mathématique, Parigi, 1969; M. Bottazzini, Il calcolo sublime: storia dell'analisi matematica da Euler a Weierstrass, Torino, 1981.