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Fermat, Pierre de-

matematico francese (Beaumont-de-Lomagne 1601-Castres 1665). Studiò scienze giuridiche ed esercitò la professione di consigliere al Parlamento di Tolosa. Mantenne stretti rapporti con i maggiori matematici e filosofi dell'epoca ed ebbe una profonda conoscenza delle opere dei grandi matematici greci. Nonostante abbia dato contributi in tutti i campi della matematica allora noti, raramente pubblicò le sue scoperte. Nella memoria Ad locos planos et solidos isagoge, anteriore al 1637, espose i fondamenti della geometria analitica e il metodo delle coordinate a cui pervenne indipendentemente da Cartesio e che per primo estese al caso delle tre dimensioni. Uno dei maggiori apporti di Fermat è l'elaborazione, verso il 1629, del metodo dei massimi e dei minimi che lo pone tra gli iniziatori dell'analisi infinitesimale. È considerato inoltre il fondatore della moderna teoria dei numeri: nei suoi lavori in questo campo impiegò per primo in modo sistematico il “principio della discesa infinita”. Formulò tutta una serie di teoremi, di cui tralasciò o accennò sommariamente le dimostrazioni successivamente trovate da altri: in proposito interessante è il problema, rimasto insoluto per più di tre secoli, delle equazioni diofantee di Fermat, detto anche ultimo teorema di (vedi oltre). Tra i risultati conseguiti vanno ricordati: la scoperta di alcune proprietà dei numeri 4n + 1; la dimostrazione che l'equazione x4 + y4 = z4, caso particolare dell'ultimo teorema di Femat, non ammette soluzioni intere; lo studio dei numeri perfetti, dei numeri poliedrici, dei quadrati e dei cubi magici. Con B. Pascal fondò il calcolo delle probabilità e svolse infine importanti ricerche in ottica geometrica applicando il metodo dei massimi e dei minimi allo studio della riflessione e della rifrazione della luce (principio di Fermat) (vedi oltre).

Principio di Fermatdell'ottica geometrica

La traiettoria di un raggio luminoso che congiunge un punto A a un punto B, passando attraverso mezzi ottici anche diversi, è quella per cui il cammino ottico, cioè la somma dei prodotti dei tratti percorsi per i rispettivi indici di rifrazione, è minimo o massimo o stazionario. Le leggi della riflessione e della rifrazione sono direttamente deducibili da tale principio.

Principio di Fermat della discesa infinita

Se C è una classe di interi assoluti alla quale non appartiene lo zero e x è un numero diverso da zero appartenente a questa classe e se, qualunque sia x, esiste un y < x appartenente a C, allora la classe C è vuota.

Ultimo teorema di Fermat

Teorema secondo il quale non esiste alcuna terna di numeri interi x, y, z diversi da zero per i quali valga l'equazione diofantea xn + yn = zn, per n maggiore di 2. In margine al trattato di Diofanto che stava leggendo Fermat scrisse che di questo teorema aveva scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa, ma che il margine era troppo stretto per poterla riportare. Non si saprà probabilmente mai se Fermat avesse trovato veramente questa soluzione, o se avesse creduto di averla trovata o se l'avesse solo intuita. Di fatto nessuno riuscì mai a trovarla nella forma che sarebbe stata possibile in base alle conoscenze matematiche dei tempi di Fermat. La risoluzione dell'ultimo teorema di Fermat rappresentò per oltre tre secoli una sfida alle più brillanti menti matematiche della nostra era e, solo nel settembre del 1994, ne venne data la dimostrazione a opera del matematico inglese Andrew Wiles, professore presso l'Università di Princeton, nel New Jersey. La dimostrazione del teorema per n = 4 fu data direttamente da Fermat, utilizzando un metodo da lui ideato e noto come metodo, o principio, della discesa infinita. Solo cento anni dopo (1753), si ebbe il primo progresso riguardo a opera di L. Euler che, in una lettera inviata al matematico C. Goldbach, annunciò che utilizzando lo stesso metodo di Fermat era riuscito a dimostrare il caso particolare n = 3. La dimostrazione di Euler è particolarmente importante perché vale per un valore di n (n = 3) che è un numero primo. Poiché tutti gli altri numeri possono essere ottenuti moltiplicando combinazioni di numeri primi, sarebbe bastato (impresa ardua) riuscire a dimostrare l'ultimo teorema per i numeri primi, tutti gli altri casi essendo dimostrati implicitamente. Il passo successivo fu compiuto, agli inizi del sec. XIX, da Sophie Germain, che dimostrò un teorema generale utile per la risoluzione per valori di n primo e tale che anche 2n + 1 sia primo. La soluzione era però ancora molto lontana. Agli inizi del 1900 l'industriale tedesco P. Wolfskehl, matematico dilettante, lasciò in eredità 100.000 marchi di premio a chi avesse avuto successo nel dimostrare l'ultimo teorema di Fermat. La somma venne affidata alla Regia Società delle Scienze di Gottinga, la quale bandì ufficialmente un concorso. Risultati concreti si ebbero però soltanto a partire dal 1955, quando due matematici giapponesi, Y. Taniyama e G. Shimura, avanzarono l'ipotesi (nota come congettura di Shimura-Taniyama) che ogni curva ellittica, cioè una curva descritta dall'equazione y² = x3 + ax² + bx + c, con a, b, c numeri interi, possa essere associata a una forma modulare (le forme modulari sono oggetti matematici legate ai numeri complessi dotate di simmetria infinita). Tale ipotesi metteva in relazione due campi della matematica prima totalmente disgiunti; la possibilità di tale relazione suscitò notevole interesse, potendo, per esempio, utilizzare le tecniche sviluppate in un campo per la risoluzione di problemi nell'altro. Nel 1984, G. Frey mise in relazione la dimostrazione della congettura di Shimura-Taniyama con l'ultimo teorema di Fermat, e quindi la dimostrazione dell'una avrebbe provato anche l'altro. Su questa strada A. Wiles, nel 1994, dopo anni di lavoro isolato, dimostrò la congettura di Shimura-Taniyama e, come corollario, l'ultimo teorema di Fermat.