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anèllo (algebra)

insieme di elementi nel quale sono definite due operazioni, dette binarie, che permettono di associare a una coppia di elementi dell'insieme un ben determinato elemento dell'insieme stesso; la natura delle operazioni non è definita, ma esse devono soddisfare determinate proprietà formali assunte come assiomi. Nell'aritmetica elementare, e successivamente nell'algebra elementare, si costruiscono diverse classi di numeri, via via più ampie; si parte dagli interi positivi, detti anche numeri naturali, si passa poi agli interi relativi aggiungendo i negativi, poi alle frazioni con segno, cioè i numeri razionali relativi, infine ai numeri reali e complessi. Si tratta in ogni caso di strutture binarie, cioè di insiemi di elementi nei quali sono definite due operazioni: l'addizione (simbolo +) e la moltiplicazione (simbolo ∤). Non sempre, invece, si possono eseguire le operazioni inverse; nell'ambito dei soli numeri naturali non è sempre definita la sottrazione, mentre tra interi relativi non sempre è possibile la divisione. Tuttavia, tutte queste strutture algebriche con due operazioni binarie su coppie ordinate, + e ∤, godono di alcune proprietà comuni, che sono soddisfatte anche da molte altre algebre, ovvero strutture algebriche, con due operazioni binarie, per le quali si continuino a usare, in senso puramente formale, i simboli + e ∤ dell'addizione e della moltiplicazione ordinarie. Questa situazione ha indotto i matematici a introdurre, come segue, il concetto di anello: un anello è un insieme A nel quale sono definite due operazioni binarie + e ∤ – queste ipotesi si riassumono nel simbolo A (+, ∤) – che verificano le seguenti proprietà formali, chiamate assiomi dell'anello: (A₁) esiste un elemento 0 (“zero”), per il quale a+0=0+a=a qualunque sia l'elemento a in A; (A₂) ogni elemento a possiede un opposto, =-a, tale che

(A₃) a+(b+c)=(a+b)+c, per ogni scelta di a, b, c (proprietà associativa); (A4) anche la moltiplicazione è associativa, cioè: (a ∤ b) ∤c=a ∤ (b ∤ c); (A5) valgono le due leggi distributive:

sempre per ogni scelta di a, b, c. Gli anelli numerici (cioè anelli in cui gli elementi sono numeri) sopra elencati verificano tutti le proprietà commutative della somma e del prodotto: (A6) a+b=b+a; (A7) a ∤ b=b ∤ a. Ora mentre (A6) è conseguenza dei primi cinque assiomi, e vale quindi in ogni anello, (A7) non è conseguenza dei cinque assiomi dell'anello. Esistono anelli non commutativi, tali essendo, per esempio, l'anello delle matriciquadrate di ordine n a elementi razionali o interi e il corpo dei quaternioni. Nell'anello Q dei razionali, o quozienti, in quello R dei reali e in quello C dei complessi, sono verificate le seguenti ulteriori proprietà formali (che possono essere assunte come nuovi assiomi): (A8) esiste un elemento neutro moltiplicativo, 1 (l'elemento “uno” o “unità” o “identità”), tale che 1 ∤ a=a ∤ 1 per ogni a; (A9) ogni elemento a≠0 ammette un inverso rispetto alla moltiplicazione, a-1, tale che: a ∤ a-1=a-1 ∤ a=1. Ogni anello che verifica gli assiomi fin qui elencati, fatta eccezione al più di (A7), si chiama corpo; se verifica anche (A7), si dirà corpo commutativo o brevemente campo (la terminologia non è però ancora uniforme). L'anello degli interi per il quale si usa il simbolo Z(+, ∤) (Z è l'iniziale del tedesco Zahl, numero) è commutativo ma non è un campo. Verifica infatti (A8), cioè è un anello con unità o anello unitario, ma non (A9), in quanto l'inverso di un intero (che non sia 1 o -1) è una frazione propria, non un intero. Z(+, ∤) verifica però la legge di annullamento del prodotto, cioè l'assioma (A₁0): un prodotto a ∤ b è 0 se e solo se è nullo almeno uno dei fattori. Un anello – assiomi da (A₁) a (A6) – si dice anello di integrità se verifica (A₁0), più precisamente campo di integrità se è commutativo – vale (A7). Non tutti gli anelli (commutativi) sono di integrità; può ben darsi che un elemento a sia diverso dallo zero ma sia tuttavia divisore dello zero, cioè tale che a ∤ b=0, con b opportuno anch'esso non nullo. Nell'anello delle matrici quadrate di un dato ordine con elementi in un campo, dividono lo zero le matrici singolari, cioè le matrici non nulle ma con determinante uguale a zero. Un esempio più elementare si ha dagli anelli delle classi resto rispetto a un modulo m (intero positivo), Zm. Gli elementi di Zm sono gli m possibili resti della divisione per l'intero m. Si pensi alle ore del giorno, se m=24; ai giorni della settimana, se m=7. Il calcolo sui resti si fa sommandoli e moltiplicandoli in modo ordinario e poi detraendo m, se si va oltre m (si calcola a meno di multipli di m). Ma allora, per esempio, in Z₂4, 3 ∤ 8=0 (dopo tre volte otto ore ritorno alle ore “zero”!), benché 3 e 8 siano resti non nulli. Zm può anche essere concepito come composto da classi di numeri, precisamente dalle classi di numeri che divisi per m danno uno stesso resto, e che si ottengono quindi aggiungendo quel resto a tutti i possibili multipli di m, costituenti la classe (m). La classe (m) è un ideale dell'anello Z(+, ∤) in quanto è un subanello (forma a sua volta un anello rispetto alle stesse operazioni), ed è tale che se i sta in (m)=I e a è qualunque in A, anche a∤i e i∤a stanno in I. Allora Zm può essere concepito come l'anello quoziente di Z rispetto all'ideale (m)=I.

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