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armònico (matematica)

termine usato in diverse accezioni specifiche: A) progressione armonica, ogni progressione degli inversi di numeri a₁, a₂, ..., a, ... in progressione aritmetica:

; B) serie armonica, la serie costituita dai reciproci degli interi naturali: ...; diverge per n tendente a più infinito; C) media armonica, per n numeri a₁, a₂, ..., a è il seguente rapporto:

D) proporzione armonica, per tre numeri, a, b, c, è la proporzione (a – b) : (b – c)=a : c. Tre numeri sono quindi in proporzione armonica se i loro inversi sono in proporzione aritmetica; E) gruppo armonico, il gruppo formato da quattro punti allineati con birapporto uguale a1; F) integrali armoniche, particolari integrali introdotti da W. D. Hodge, che intervengono in elevate questioni di geometria algebrica e differenziale e di topologia; G) funzione armonica, funzione f finita e continua insieme alle sue derivate prime e seconde in un certo campo nel quale soddisfa all'equazione di Laplace Δ₂f=0, ovvero

È caratterizzata dalle seguenti proprietà: nel centro di una sfera appartenente al suo campo di esistenza assume il valore che è la media dei valori assunti sulla superficie; non può avere punti di massimo o di minimo interni al suo campo di esistenza; quindi se è costante su una superficie chiusa è costante in tutto lo spazio interno a essi; H) campo armonico, campo vettoriale irrotazionale e solenoidale, per il quale cioè il vettore v(P) soddisfa contemporaneamente alle 2 relazioni: rot v=0, div v=0. Dalla prima relazione si deduce che v=grad f, dove f è una funzione soluzione dell'equazione div grad f=0, ovvero Δ₂f=0, che è un'equazione di Laplace. Particolarmente rilevanti sono i seguenti esempi di campi armonici (con le funzioni armoniche corrispondenti): i campi cinetici, con moto irrotazionale di un liquido di cui v rappresenti la velocità; i campi gravitazionali, all'esterno delle masse che li originano; i campi magnetostatici e quelli elettrici stazionari. Geometricamente si può rappresentare un campo armonico sia mediante superfici equipotenziali sia mediante tubi di flusso (vedi campo).