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birappòrto

sm. [bi-+rapporto]. In geometria analitica e proiettiva, birapporto (o doppio rapporto, o rapporto anarmonico) di quattro punti allineati A, B, C, D, disposti nella retta secondo l'ordine in cui sono scritti, è il numero k che esprime il valore del rapporto

dove con (ABC) si indica il rapporto semplice dei punti A, B, C, cioè:

in cui AC, BC indicano le distanze dei rispettivi punti, calcolate con un'unità di misura arbitraria e analogamente per (ABD). Il birapporto k si indica con il simbolo (ABCD). Se, in un arbitrario sistema di coordinate rettilinee, le coordinate dei quattro punti sono xA, xB, xC, xD, il birapporto si può esprimere nella forma

Modificando l'ordine in cui vengono presi i quattro punti, sono realizzabili 24 possibili permutazioni alle quali corrispondono, però, solo 6 distinti valori del birapporto in quanto si ha: (ABCD)= =(BADC)=(CDAB)=(DCBA)=k. Per i restanti cinque valori del birapporto valgono le eguaglianze: . Nel caso in cui (ABCD)=(ABDC) il birapporto vale -1 (si esclude il caso k=1, in quanto allora due dei quattro punti coinciderebbero) e i quattro punti allineati costituiscono un gruppo detto gruppo o quaterna armonica. Il concetto di birapporto si estende a un fascio di rette complanari per le quali si definisce:

in cui &, ', (, ), rappresentano gli angoli tra le corrispondenti rette. È alla base della geometria proiettiva il teorema che afferma che per una qualsiasi retta che tagli le quattro rette a, b, c, d in quattro punti A, B, C, D si ha (ABCD)=(abcd). Si può infine osservare che mentre le affinità conservano invariato il rapporto semplice, ma non il birapporto, le proiettività conservano il birapporto: anzi, tale proprietà è caratteristica delle proiettività e può costituirne una definizione.

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