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càlcolo

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Lessico

sm. [sec. XV; dal latino calcŭlus, sassolino per fare i conti].

1) L'esecuzione di operazioni matematiche; complesso di procedimenti matematici (o, per analogia, logici) per cui si giunge alla soluzione di un problema: è abile nel fare i calcoli a mente; un calcolo complicato; calcolo esatto. Per estensione, valutazione accurata, previsione, supposizione: fare i propri calcoli, fare un attento esame preventivo dei vantaggi e dei danni prima di agire in modo da conseguire un risultato positivo: i miei calcoli si sono rivelati esatti; agire per calcolo, per interesse.

2) In ottica, è detto calcolo ottico l'insieme dei procedimenti analitici e trigonometrici atti alla progettazione di un sistema ottico di caratteristiche determinate.

3) In logica formale, sistema deduttivo costituito da un elenco di simboli e dalle regole sintattiche di formazione e di trasformazione delle sue espressioni.

4) Macchine da calcolo, le varie apparecchiature e dispositivi che con diverse modalità funzionali e operative permettono l'esecuzione di calcolo; in questo senso rientrano nella definizione di macchine da calcolo tutte le apparecchiature che vanno dall'abaco al regolo, alla calcolatrice, all'elaboratore elettronico.

5) In economia aziendale, calcolo meccanico, contabilità tenuta con l'uso di macchine contabili.

Logica formale

I simboli e le regole di formazione di un calcolo, C, ne determinano il linguaggio, L, cioè consentono di costruire l'insieme di tutte quelle successioni di simboli che si vogliono avere come formule di C. Intuitivamente, queste ultime denotano enunciati. Le regole di trasformazione determinano l'apparato deduttivo di C, cioè consentono di costruire derivazioni, da una o più formule di C, di una o più formule che appartengono ancora a C. Queste regole di trasformazione comportano una lista di formule di C, dette assiomi, e una lista di regole, dette di derivazione, che complessivamente determinano quali sono i teoremi derivabili di C. Intuitivamente, le derivazioni si interpretano come deduzioni degli enunciati denotati dalle formule. Un calcolo così costruito è detto calcolo formale o non interpretato, in quanto ci si occupa solo della sua struttura deduttivo-formale (o sintattica). Si dice, poi, che un calcolo è interpretato, quando vengono date anche delle regole semantiche per l'interpretazione dei suoi simboli e delle sue espressioni. A seconda delle diverse liste di simboli e di regole assunti, si hanno calcoli diversi, sia dal punto di vista del livello logico, sia da quello della nozione di deduzione che si vuole formalizzare. Si hanno così da una parte il calcolo degli enunciati o proposizionale, il calcolo dei predicati del primo ordine, del secondo ordine e così via. Dall'altra parte si hanno calcoli classici, intuizionisti, modali e così via. Accanto ai calcoli sopra accennati va ricordato un particolare tipo di calcolo, detto calcolo naturale o di deduzione naturale o di G. Gentzen, che per primo ne fornì un esempio nel 1934. Esso è sostanzialmente costituito dalle sole regole di introduzione e di eliminazione per ogni operatore logico.

Matematica: generalità

Una particolare distinzione per il calcolo si ha tra calcolo letterale o formale e calcolo numerico. Con calcolo differenziale e calcolo integrale, il cui insieme costituisce il calcolo infinitesimale, o con un termine usato nel sec. XIX, calcolo sublime, si indica generalmente l'analisi matematica. Il termine calcolo seguito da altre specificazioni indica numerosi e diversi altri settori della matematica, quali, per esempio, il calcolo simbolico, il calcolo matriciale, il calcolo delle variazioni (o funzionale), il calcolo combinatorio, il calcolo delle probabilità, il calcolo vettoriale, ecc.

Matematica: calcolo letterale

Costituisce l'insieme delle convenzioni e delle regole per il calcolo di un'espressione algebrica letterale che preveda l'esecuzione delle quattro operazioni elementari e dell'elevamento a potenza di monomi e polinomi. Rientra anche nel calcolo letterale l'insieme delle convenzioni e delle regole per semplificare le espressioni con radicali, con esponenziali e con funzioni logaritmiche e trigonometriche. Può anche considerarsi oggetto del calcolo letterale la determinazione di tutti gli algoritmi dell'algebra classica, quali, per esempio, le formule risolutive delle equazioni di 2º, di 3º e di 4º grado.

Matematica: calcolo numerico rapido

Mentre nel calcolo letterale hanno interesse solo formule e procedimenti che dipendono dalle regole formali di calcolo, oggetto del calcolo numerico sono i procedimenti tecnici da seguire per risolvere i problemi in esame, cioè per ottenere uno o più risultati numerici come soluzione di problemi già impostati in precedenza con i metodi del calcolo letterale e per i quali si sa che esistono soluzioni. Rientrano in questo capitolo della matematica l'esecuzione delle operazioni elementari, il calcolo delle radici di un numero, il calcolo del valore di un'espressione numerica, il calcolo delle soluzioni di un'equazione o di un sistema di equazioni di qualunque tipo, il calcolo dei valori di una funzione in corrispondenza a determinati valori della variabile indipendente. Possono essere considerati inoltre sezioni del calcolo numerico il calcolo rapido e il calcolo approssimato. § Il calcolo rapido comprende numerosi procedimenti che permettono di eseguire rapidamente determinati calcoli. Per esempio, per moltiplicare per 10, 100, 1000, ecc. un numero intero si aggiungono a esso uno, due, tre, ecc. zeri, oppure, se è decimale, si sposta verso destra la virgola di uno, due, tre, ecc. posti e si fa l'inverso nelle divisioni. Da questa regola ne discendono immediatamente altre come quelle per moltiplicare o dividere un numero per 5 o per 25 o per 9, basate sulla considerazione che 5=10:2, che 25=100:4 e che 9=10–1. Per il calcolo rapido di prodotti esistono anche altre interessanti regole: per esempio, per moltiplicare un qualsiasi numero per 11 si segue, procedendo da destra verso sinistra, lo schema qui illustrato per il numero 291 (291×11=3201).

Anche per moltiplicare due numeri compresi tra 10 e 20 esiste la possibilità di abbreviare il calcolo. Sia da calcolare 18∤19: si somma 18+9=27, si moltiplica il risultato per 10, 27∤10=270, si moltiplica 9∤8=72 e infine si sommano i risultati dei due prodotti: 270+72=342. I vari passaggi possono essere spiegati ricorrendo all'algebra. Infatti, sia 10+x il primo numero e 10+y il secondo numero; il loro prodotto può essere scritto

Quest'ultimo passaggio rappresenta i calcoli che sono stati eseguiti nell'esempio. Sempre per mezzo dell'algebra si possono trovare altre strade per i calcoli: tenendo presente, per esempio, la relazione

si ha che il prodotto di due numeri che differiscono di due unità è dato dal quadrato del numero tra essi compreso diminuito di uno. Per esempio 24∤26=25²-1=624. § Il calcolo approssimato è l'insieme dei procedimenti e delle regole per effettuare operazioni in cui o gli operandi, o i risultati, o gli uni e gli altri sono approssimati. Oltre alle operazioni elementari approssimate, sono, per esempio, oggetto del calcolo approssimato i metodi di integrazione per serie e gli sviluppi in serie di funzioni. In pratica, il calcolo approssimato è caratterizzato dai seguenti due problemi: nota l'approssimazione dei dati, stabilire quella del risultato; assegnata l'approssimazione del risultato, stabilire quale deve essere l'approssimazione dei dati. Per le quattro operazioni elementari, le seguenti regole risolvono entrambe le questioni precedenti. Per l'addizione si ha che la somma di non più di dieci addendi, tutti approssimati per difetto a meno di , risulta approssimata a meno di 1/10. A questo proposito si tenga presente che approssimare un numero per difetto a meno di 1/10+1 significa conservarne le cifre fino a quella dell'ordine 10+1, con n intero qualunque, trascurando le altre se n è negativo o nullo, sostituendole con zeri se n è positivo; se poi la prima cifra trascurata è maggiore di 4, l'ultima cifra considerata viene aumentata di un'unità e così si procede all'approssimazione per eccesso; per esempio, il numero 6,999664 si approssima a meno di 10-4 scrivendo 6,9996 (approssimazione per difetto), ma se si vuol ridurre l'errore si scrive 7,0000 (approssimazione per eccesso). Per esempio, per calcolare

a meno di , dalla regola si ricava immediatamente che si deve prendere ciascun addendo con 5 cifre decimali:

che è il valore della somma con 4 cifre decimali esatte. Nel caso della sottrazione vale che se si sottrae dal valore approssimato per difetto del minuendo il valore approssimato per eccesso del sottraendo, entrambi a meno di 1/10+1, si ottiene una differenza approssimata per difetto a meno di 1/10. Per esempio, per calcolare a meno di , si prendono i due termini con 4 cifre decimali approssimando il minuendo per difetto e il sottraendo per eccesso; per π=3,14159... si prende 3,1415 e per =2,23606...si prende 2,2361. La loro differenza, 3,1415–2,2361=0,9054, dà il valore richiesto. Nella moltiplicazione, per avere un risultato approssimato a meno di 1/10, se i due fattori hanno rispettivamente h e k cifre intere (oppure se, essendo minori dell'unità, hanno h e k zeri che dopo la virgola precedono la prima cifra significativa), è necessario che il primo fattore sia approssimato a meno di 1/10++1 e il secondo a meno di 1/10¹ (per i numeri minori dell'unità i valori h e k nelle formule vanno sottratti). Per esempio, per calcolare con due cifre decimali esatte (cioè n=2), essendo 4π=12,56637... e =4,12311...e avendo il primo numero 2 cifre intere (cioè h=2) e il secondo una cifra intera (k=1), si deve prendere il primo fattore approssimato con k+n+1=1+2+1=4 cifre decimali e il secondo con h+n+1= =2+2+1=5 cifre decimali. Allora

Nella divisione, affinché il quoziente sia approssimato per difetto a meno di 1/10, il dividendo deve essere approssimato per difetto a meno di 1/10+3 e il divisore per eccesso a meno di 1/10²3 (i segni di h e k vanno cambiati per i numeri decimali). Per esempio, per calcolare il quoziente approssimato a meno di essendo , .. ed n=2, h=1, k=1, il dividendo deve avere

cifre decimali e il divisore

cifre decimali. Si dovrà perciò calcolare 1,7320:1,4142 per avere il risultato desiderato. Esistono altre regole per eseguire calcoli approssimati; per esempio, per trovare la radice quadrata di un numero x a meno di 10 (con r solitamente minore di zero) è necessario conoscere di x un valore approssimato a meno di 10², cioè il numero delle cifre decimali del radicando deve essere doppio di quello del risultato. Il logaritmo decimale di un numero che ha al massimo 5 cifre si trova su delle tavole, dette tavole logaritmiche; se le cifre sono più di 5 si può calcolare un valore approssimato del logaritmo per mezzo dell'interpolazione. Si può inoltre dimostrare che per calcolare la tangente di un angolo è necessario conoscere di questo una misura sempre più precisa quanto più esso si avvicina a 90º; si aggiunga anche che per trovare il valore approssimato di un angolo è meglio usare il valore della sua tangente che del suo seno. Più in generale vale la regola secondo la quale dedurre i valori di x da quelli di f(x) è tanto più difficile quanto minore è il valore della derivata di f(x). § L'insieme dei metodi grafici del calcolo numerico è detto calcolo grafico. Nel caso di equazioni è, per esempio, possibile determinarne graficamente le soluzioni, questione che diventa particolarmente importante nel caso che esse contengano un parametro. Per le equazioni di 1º grado, ax+b=0, la soluzione grafica è data dall'intersezione della retta y=ax+b con l'asse x. Per il calcolo grafico delle soluzioni di un'equazione di 2º grado, la cui forma generale è ax²+bx+c=0, si considerano le intersezioni della parabola

con l'asse x. Il grafico permette di riconoscere se le soluzioni sono reali o complesse e di determinarne il segno e il valore assoluto. Per le equazioni di 3º grado il procedimento è analogo: si considera il grafico della y=f(x) e le sue intersezioni con l'asse x. Scelto un intervallo (a, b) di valori della variabile indipendente, se si ha che f(a)<0 e f(b)>0 oppure che f(a)>0 e f(b)<0, è evidente che nell'intervallo (a, b) esiste un numero dispari di punti comuni al grafico e all'asse x e di conseguenza un numero dispari di soluzioni dell'equazione. Riducendo opportunamente l'ampiezza dell'intervallo (a, b) si può fare in modo di trovare un unico punto x0, con a0<b, tale che sia f(x0)=0; pertanto di questa soluzione si può calcolare un valore il più possibile approssimato. Questo procedimento è applicato anche alle equazioni di grado superiore al 3º. Per il calcolo grafico delle soluzioni di un'equazione di 3º grado esistono anche altri particolari procedimenti che permettono di leggerne le soluzioni su punti del piano (vedi nomografia). Per il calcolo grafico delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie, vedi equazione.

Calcolo simbolico

Metodo matematico per lo studio di alcuni fenomeni che interessano grandezze variabili, generalmente in funzione del tempo. Consiste nel sostituire alle grandezze in esame, tra le quali intercorrono solitamente delle relazioni di tipo differenziale, altri enti, a esse associati, tra i quali sia possibile stabilire relazioni più semplici. Un metodo diffuso di calcolo simbolico è quello della trasformata di Laplace, usato soprattutto nello studio di fenomeni retti da equazioni integro-differenziali a coefficienti costanti, che consiste nel sostituire a tali equazioni le equazioni algebriche che si ottengono applicando a esse le regole della trasformazione di Laplace. La soluzione dell'equazione trasformata rappresenta la trasformata della funzione che risolve l'equazione di partenza; a tale funzione è poi possibile risalire applicando le formule di inversione o consultando apposite tabelle delle antitrasformate. Un esempio più semplice di calcolo simbolico è il cosiddetto calcolo di Steinmetz, di uso molto comune in elettrotecnica, che può essere applicato a grandezze sinusoidali, di uguale frequenza, in condizioni di regime. Una funzione sinusoidale del tempo, del tipo a=AM sin t+φ) è completamente caratterizzata, una volta nota la sua pulsazione ω, dall'ampiezza AM e dalla fase φ; d'altra parte un numero complesso è completamente definito quando se ne conoscono modulo e argomento. È quindi possibile associare alla grandezza a il numero complesso α di modulo pari alla sua ampiezza e argomento pari alla sua fase. Inoltre si può facilmente dimostrare che, date due funzioni a₁ e a₂, associate ai numeri complessi α₁ e α₂, alla loro somma e alla loro differenza corrispondono rispettivamente i numeri α₁+α₂ e α₁–α₂. La corrispondenza così definita tra grandezze sinusoidali e numeri complessi è quindi un isomorfismo rispetto alla somma algebrica. Ciò permette di operare su numeri complessi anziché su funzioni sinusoidali. Inoltre, poiché i numeri complessi possono essere associati ai vettori (detti talvolta fasori) del piano di Gauss, la stessa corrispondenza può essere stabilita tra funzioni sinusoidali e vettori piani. Per questo motivo il calcolo simbolico di Steinmetz è spesso detto impropriamente calcolo vettoriale. Derivando e integrando rispetto al tempo la funzione sinusoidale a=AM sin (ωτ+φ) si ottengono le funzioni sinusoidali

La derivata rispetto al tempo di una funzione sinusoidale di ampiezza AM e pulsazione ω è perciò una funzione sinusoidale di ampiezza A e pulsazione ω, sfasata in anticipo di su quella di partenza (vedi fase); l'integrale è invece una funzione sinusoidale di ampiezza sfasata in ritardo di . Le operazioni di derivazione e di integrazione su una data funzione sinusoidale si traducono quindi in variazioni del modulo e dell'argomento del numero complesso (o del vettore piano) a essa associato. Come esempio si consideri il circuito elettrico, "Per il calcolo simbolico vedi figure al lemma del 4° volume." "Vedi disegno vol. V, pag. 195" costituito da una resistenza R, un'induttanza L e una capacità C collegate in serie e percorso a regime dalla corrente sinusoidale i=IM sin ωt. La tensione v ai capi del circuito si ricava dall'equazione differenziale

integrando la quale si ottiene

v=VM sint+ψ), con

Applicando il calcolo simbolico si può associare alla corrente i un vettore del piano complesso di modulo IM; ai termini verranno allora associati rispettivamente i vettori di modulo RIM in fase con IM, ωLIM sfasato di in anticipo, sfasato di in ritardo. Sommando questi tre vettori (o i numeri complessi corrispondenti) si ricava agevolmente il vettore VM che rappresenta in modulo e fase la tensione applicata al circuito. Si ricavano quindi in modo elementare le stesse relazioni ottenute dalla risoluzione dell'equazione integro-differenziale di partenza. Nei casi pratici i calcoli vengono eseguiti con riferimento, anziché alle ampiezze AM delle grandezze sinusoidali in esame, ai loro valori efficaci

F. B. Hildenbrand, Introduction to Numerical Analysis, New York, 1965; J. H. Ahleberg, E. N. Nilson, J. L. Walsh, The Theory of Splines and their Applications, New York, 1967; G. Meinardus, Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods, Berlino, 1967; N. Bachvalov, Metodi numerici, Roma, 1981.