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càos (fisica)

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Descrizione generale

In fisica, deterministico, situazione che si crea in sistemi anche semplici per cui questi possono evolvere nel tempo da stati perfettamente determinati a condizioni così disordinate e impredicibili da essere praticamente indistinguibili da stati generati a caso. L'espressione caos deterministico è usata per indicare la turbolenza che si genera in sistemi fisici descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali (quale, per esempio, l'equazione di Navier-Stokes che descrive il moto di un fluido incompressibile reale). In tali sistemi, nonostante essi siano composti, a livello microscopico, da entità (per esempio, le molecole del liquido) il cui moto è governato da leggi deterministiche e il cui stato è in linea di principio perfettamente definibile in ogni istante, si può generare globalmente un comportamento non predicibile. L'espressione “caos deterministico ” è stata introdotta per indicare l'estrema sensibilità del sistema alle condizioni iniziali. La possibilità di soluzioni non predicibili in sistemi descritti da equazioni deterministiche è nota da tempo. Nell'Ottocento il fisico matematico francese J.H. Poincaré mostrò che è praticamente impossibile predire a lungo termine il moto di tre o più corpi astronomici che si muovono sotto la mutua influenza gravitazionale: il caos può insorgere quindi anche nella più classica visione del mondo newtoniano. Le branche della ricerca sviluppatesi dagli anni Sessanta in poi, che si sono occupate della teoria del caos e hanno investigato il confine tra ordine e disordine in sistemi matematici e fisici, hanno mostrato che la netta distinzione newtoniana tra regolarità e disorganizzazione è illusoria. Infatti anche il più classico dei problemi deterministici, quale il problema a tre corpi di Poincaré descritto da equazioni formalmente semplici, può evolvere nel tempo in condizioni così disordinate e impredicibili da essere praticamente indistinguibile da uno stato generato a caso. D'altro canto, molti aspetti della natura che generalmente appaiono come caotici, sono generati da semplici relazioni matematiche, spesso quindi descrivibili e controllabili. Lo studio di strutture naturali quali le linee costiere, le figure di accrescimento nelle piante o altre che non sono riconducibili a semplici figure geometriche euclidee, ha condotto alla considerazione dei frattali, strutture irregolari ovunque, ma con lo stesso grado di irregolarità a tutte le scale. Un impulso determinante per la scoperta stessa e per lo studio del caos deterministico è stato dato dalla possibilità di studiare le equazioni che lo generano per mezzo di elaboratori digitali. In particolare, gli elaboratori hanno permesso di riprodurre in una sorta di laboratorio numerico esperimenti molto precisi in cui le condizioni sperimentali (quali, per esempio, le condizioni iniziali o i parametri critici) possono essere controllate esattamente.

L’effetto farfalla e gli attrattori strani

Secondo la meccanica classica, per risolvere un problema è necessario conoscere quale sia il numero delle variabili necessarie per descriverne a ogni istante la configurazione, cioè quanti siano i suoi gradi di libertà. La configurazione di un sistema con N gradi di libertà è definita da 2N coordinate, di cui N sono coordinate di posizione e le altre N sono coordinate di quantità di moto (o momento). Lo spazio a 2N dimensioni così costituito si chiama spazio delle fasi, e l'evoluzione del sistema è rappresentata dalla traiettoria di un punto la cui posizione in questo spazio è identificata, a ogni istante, dalle 2N coordinate suddette. La grande sensibilità del sistema alle condizioni iniziali si manifesta, nello spazio delle fasi, con traiettorie che si originano da punti arbitrariamente vicini, e al crescere del tempo si allontanano in maniera esponenziale. Questo allontanamento rende conto della difficoltà, per esempio, delle previsioni meteorologiche a lungo termine, anche se si assumessero come perfettamente note le leggi che governano l'evoluzione dell'atmosfera terrestre. Infatti il più piccolo errore nelle condizioni iniziali (campo di pressione, temperatura, composizione chimica dell'atmosfera ecc. al tempo t=0) darebbe luogo a previsioni totalmente differenti: questo fenomeno viene spesso chiamato "effetto farfalla", come descritto nel 1963 dal fisico E.N. Lorenz ("Una farfalla che sbatte le sue ali sul Brasile potrebbe causare la formazione di un tornado sul Texas"). In termini matematici, l'evoluzione di un sistema dinamico caotico descrive, nello spazio delle fasi, delle traiettorie note con il nome di attrattori strani. Nella teoria classica dei sistemi dissipativi non caotici sono ben noti altri tipi di attrattori: un pendolo che dissipa energia per attrito, trascorso un certo tempo, si arresta e la sua traiettoria nello spazio delle fasi è una spirale che converge verso un punto (di coordinate corrispondenti a quantità di moto nulla e posizione corrispondente alla posizione di riposo), detto anche punto fisso. Tale tipo di attrattore è tipico di tutti i sistemi che con il tempo arrivano a uno stato di quiete, in cui le orbite sono attratte in una sottoregione dello spazio delle fasi che possiede un numero ridotto di dimensioni. Altri sistemi possono tendere a cicli o orbite periodiche (per esempio, un pendolo che periodicamente viene ricaricato da una molla): tali attrattori sono chiamati cicli limite. Questi sistemi classici sono caratterizzati dal fatto che piccole variazioni nelle condizioni iniziali (il punto di partenza delle traiettorie) non influenzano il comportamento asintotico (a grandi valori della variabile temporale t) del sistema. Diverso è il caso per sistemi che possiedono attrattori strani: le orbite prima descritte, caratterizzate da un allontanamento esponenziale con lo scorrere del tempo, sono un fenomeno locale (valido cioè in una regione limitata dello spazio delle fasi): infatti due orbite differenti situate sullo stesso attrattore strano non possono divergere esponenzialmente all'infinito, essendo la dimensione dell'attrattore strano finita. Ne consegue che l'attrattore si deve ripiegare su se stesso, producendo sulle orbite ripetuti stiramenti e piegature. Questo produce una struttura frattale dell'attrattore strano, che mostra dettagli sempre maggiori via via che si ingrandisce la scala a cui lo si osserva.