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ciclòide

agg. e sf. [ciclo¹+-ide].

1) Agg., di forma tondeggiante; in zoologia, scaglie cicloidi, vedi scaglia.

2) Sf., curva piana trascendente; è il luogo geometrico descritto da un punto P di una circonferenza, che rotoli senza strisciare su una retta fissa. Se si stabilisce un riferimento cartesiano avente come asse delle x la retta fissa e come asse delle y una retta perpendicolare all'asse x, tale che la circonferenza sia situata nel semipiano y≥0 e tale che, quando la circonferenza tocca l'asse x nell'origine O delle coordinate, il punto P che descrive la cicloide coincida proprio con O, le equazioni parametriche della cicloide sono, indicando con r il raggio della circonferenza:

La cicloide si compone di infiniti archi, ma in genere ne viene considerato uno solo la cui lunghezza è uguale a otto volte il raggio del cerchio generatore. L'area della superficie compresa tra questo arco e l'asse delle x, come intuito da G. Galilei e dimostrato da E. Torricelli, è uguale a tre volte quella del cerchio generatore. Importanti proprietà della cicloide sono quelle di essere la curva di minimo tempo, o brachistocrona, e la curva di ugual tempo, o tautocrona. La prima diqueste proprietà è riferita alla caduta di un grave che passi da un punto P₁ a un punto P₂ a un livello più basso: il grave impiega il tempo minore se, tra tutte le curve possibili, scivoli in assenza di attrito lungo un arco di cicloide; la seconda proprietà è riferita ancora alla caduta di un grave lungo un arco di cicloide disposto con la concavità verso l'alto su un piano verticale: il grave, inizialmente in quiete, impiega sempre lo stesso tempo a giungere nel punto più basso dell'arco, qualunque sia la posizione di partenza. Costituiscono importanti generalizzazioni della cicloide la cicloide allungata e la cicloide accorciata , definite come le curve descritte da un punto P collegato rigidamente alla circonferenza e posto a distanza h dal centro, rispettivamente, maggiore o minore del raggio. Le equazioni parametriche della cicloide allungata o accorciata sono: x=rφ - hsinφ, y=r - hcosφ. Se invece di considerare una circonferenza e una retta, si considerano due curve qualunque, si ottiene, in modo analogo, una curva o linea cicloidale, definita come il luogo descritto da un punto solidale con una curva (rulletta) che rotoli, senza strisciare, su un'altra curva fissa (base). In particolare, se rulletta e base sono due circonferenze, la linea cicloidale prende il nome di epicicloide o ipocicloide a seconda che le circonferenze siano tangenti esternamente o internamente. Sono, per esempio, ipocicloidi l'asteroide e la tricuspide. Nel caso che il raggio della rulletta sia due volte il raggio della base, l'ipocicloide è un'ellisse.

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