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distribuzióne (matematica)

tipo particolare di funzione. Considerata la classe di funzioni φ(x) godenti delle due proprietà di essere ovunque nulle a eccezione di un insieme di punti chiuso e limitato e di essere derivabili quante volte si desideri, si può introdurre in questo spazio vettoriale di funzioni il concetto di convergenza. Una successione φ₁(x), φ₂(x),..., φ(x) di funzioni di tale spazio vettoriale converge a una funzione φ(x) dello stesso spazio quando sono verificate le due condizioni: la successione tende uniformemente alla funzione data; le derivate, di qualsiasi ordine, delle funzioni della successione tendono alla derivata, dello stesso ordine, della funzione data. Si definisce allora come distribuzione nello spazio vettoriale sopra descritto un funzionale Φ(φ) che sia lineare per qualsiasi coppia di funzioni dello spazio e che sia ivi continuo. In altri termini, deve essere, per la linearità:

con h e k numeri reali, e, per la continuità: il limite per n tendente a ∞ di Φ(φ) è uguale a Φ(φ). La teoria più generale delle distribuzioni comprende la trattazione di distribuzioni su spazi vettoriali di funzioni di più di una variabile e anche complesse. L'importanza fondamentale del concetto di distribuzione deriva dal fatto che per le distribuzioni si possono introdurre, in modo analogo a quello che si ha per le funzioni ordinarie, le operazioni di derivazione e di integrazione. Storicamente, l'introduzione della teoria delle distribuzioni portò alla definizione matematicamente rigorosa di enti, quali la funzione funzione delta di Dirac, che, di uso ormai consueto nella fisica, non avevano ancora trovato una corretta collocazione nell'edificio dell'analisi matematica.