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elasticità (fisica)

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Generalità

Il problema fondamentale della teoria dell'elasticità è quello di determinare la relazione tra la deformazione che si verifica in un corpo elastico e la sollecitazione che ne è la causa. Si può considerare il vasto campo dell'elasticità come diviso in quattro parti fondamentali: studio delle condizioni di congruenza di un elemento infinitesimo del corpo in esame, condizioni che legano tra loro le caratteristiche di deformazione escludendo il verificarsi di sovrapposizioni o distacchi di materia, cioè analisi dello stato di deformazione; studio delle condizioni di equilibrio dell'elemento infinitesimo, che legano tra loro le caratteristiche di sollecitazione imponendo l'equilibrio in tutti i punti del corpo, cioè analisi dello stato di tensione; studio del lavoro di deformazione compiuto dalle forze esterne; studio delle ipotesi semplificative che sono alla base della teoria.

Analisi dello stato di deformazione

Se si prende in esame una barra, associata a una terna di assi ortogonali e si riferisce a tali assi lo spostamento MM´ che essa subisce "Vedi la figura 1 alla pagina 509 dell’8° volume." , "Per la figura 1 vedi il lemma dell'8° volume." lo spostamento verrà individuato dalle coordinate di M (x, y, z) e (, , ) e troverà le sue componenti (u, v, w) nelle differenze: -x=u, -y=v, -z=w. Note le componenti dello spostamento, si potranno definire le caratteristiche di deformazione, cioè gli allungamenti (ε) e quindi gli accorciamenti (γ) unitari, che di tali componenti sono funzioni, in base alle due relazioni:

Essendo gli spostamenti considerati molto piccoli, si potranno trascurare gli infinitesimi di ordine superiore al primo nello studio delle componenti, esprimendo così l'andamento della deformazione mediante una quadrica di equazione:

Bisogna però osservare che, mentre una deformazione sarà sempre individuata dai valori delle sei caratteristiche, tali valori, presi arbitrariamente, non saranno invece sempre in grado di definire una deformazione, dovendo, per far ciò, soddisfare a determinate condizioni di congruenza espresse dalle seguenti equazioni:

In un successivo approfondimento dello stato di deformazione, analizzando e sviluppando ulteriormente le precedenti espressioni, si giungerà poi a individuare un cono di scorrimento, con vertice nel punto considerato, separatore delle fibre che subiscono deformazioni di segno opposto e si ritroveranno, inoltre, tre direzioni principali, tra loro ortogonali, e uscenti sempre dal punto in esame, rispetto alle quali saranno nulli gli scorrimenti. Per quel che concerne l'equilibrio del corpo deformato, occorre dapprima osservare che la tendenza del solido elastico a riprendere la sua configurazione primitiva dimostra essere presente un'energia potenziale (trasformazione del lavoro meccanico di sollecitazione), la quale, appunto perché la configurazione deformata sia di equilibrio, dovrà eguagliare il lavoro compiuto dalle forze esterne per portare il corpo in quello stato di coazione elastica. Imponendo le condizioni di equilibrio sia per le forze applicate per unità di volume (F), sia per quelle superficiali (P), si otterranno sei equazioni: le prime tre indefinite e valide per ogni punto del corpo, le altre dette ai limiti e valide solo in superficie; sufficienti, nel loro insieme, a individuare lo spostamento:

La linearità di queste equazioni dimostra la sovrapponibilità degli stati di equilibrio, che consente di scindere eventuali difficoltà del problema e dimostra, inoltre, la dipendenza lineare delle deformazioni dalle forze e la loro proporzionalità (Hooke).

Analisi dello stato di tensione

La deformazione che subisce un solido elastico sollecitato, determinerà poi, all'interno di questo, l'insorgere di tensioni interne, proporzionali alla deformazione alla quale si oppongono. Se si considera un solido elastico come un aggregato di infiniti elementi di volume e se ne esamina un elemento infinitesimo, si vedrà che su questo elemento la tensione sarà rappresentata da un tensore degli sforzi, a sua volta individuabile mediante tre vettori, relativi a tre elementi ortogonali di superficie, uscenti dal punto considerato. Le componenti del tensore saranno le componenti dei vettori:

le quali, per la proprietà di simmetria τ, τ, si ridurranno da nove a solo sei distinte componenti di tensione δ e τ "Vedi la figura 2 alla pagina 510 dell’8° volume." . "Per la figura 2 vedi il lemma dell'8° volume." Esiste quindi una relazione tra tensioni e deformazioni: infatti la deformazione è proporzionale alla sollecitazione che la produce e proporzionale, inoltre, alla tensione che, a sua volta, essa determina; tale rapporto di proporzionalità si può esprimere in modo unitario per tutti i materiali attraverso dei moduli. Nel caso più semplice, per esempio di sola trazione, si avrà che nelle relazioni che legano tensioni e deformazioni

compariranno E (modulo di elasticità normale o di Young) e ν (coefficiente di Poisson o di contrazione laterale, indicato anche con 1/m); mentre nel caso di una sollecitazione qualunque si avranno relazioni più generali, come:

da cui, attraverso le costanti di Lamé μ e λ, si giunge a scrivere: δ=2με+λ(ε), essendo

Questo fondamentale rapporto tensione-deformazione, derivato da Hooke, costituisce la base di tutta la teoria dell'elasticità. Le equazioni dell'equilibrio, già espresse tramite le deformazioni, sono altresì esprimibili mediante le tensioni. Se infatti si impone che il parallelepipedo infinitesimo sia in equilibrio sotto l'azione contemporanea delle forze esterne e delle tensioni interne, si troverà che le caratteristiche di tensione debbono soddisfare in ogni punto le tre equazioni indefinite, ritrovate imponendo semplici condizioni di equilibrio:

e inoltre alle tre equazioni al contorno:

nelle quali a=cos(nx), a=cos(ny), a =cos(nz), sono i coseni direttori della fibraOM. Perché queste sei equazioni differenziali coincidano con le altre sei, basta considerare le relazioni che intercorrono tra tensioni e deformazioni, le quali esprimono le sei componenti di tensione come funzioni lineari di quelle di deformazione:

L'unicità del risultato del problema posto, e cioè dell'individuazione della deformazione del solido elastico sollecitato, dimostra come vi sia un solo stato di deformazione possibile tra tutti quelli di equilibrio, il che è dimostrabile anche attraverso i diversi teoremi sul lavoro di deformazione.

Lavoro di deformazione

Si definisce così il lavoro compiuto dalle forze esterne nella deformazione del solido elastico cui sono applicate. Questo lavoro, detto esterno, qualora le forze vengano applicate staticamente e si possa trascurare sia l'attrito dei vincoli, sia quello interno del corpo, verrà speso interamente per compiere la deformazione e sarà quindi uguale a quello compiuto dagli sforzi interni per riportare il corpo al suo stato primitivo: L=L. Si può quindi pensare che il lavoro esterno, durante la deformazione, si trasformi in un'energia potenziale elastica che viene accumulata nel corpo, per essere poi restituita come lavoro interno quando viene a cessare la sollecitazione esterna. Si può esprimere questa energia potenziale elastica (W), sia in funzione delle caratteristiche di deformazione

sia in funzione di quelle di tensione

esprimendo poi tale energia come lavoro interno, si avrà che:

La fondamentale importanza del lavoro di deformazione nella teoria dell'elasticità, specie per le sue numerose implicite possibilità di applicazione ai più complessi problemi della scienza delle costruzioni, può spiegare i tanti studi che gli sono stati dedicati da fisici e matematici e che si sono concretizzati nei numerosi teoremi che ne evidenziano i diversi aspetti. Tra questi: il teorema di Clapeyron, che dimostra come il lavoro, per l'applicazione statica delle forze, valga la metà di quello che invece sarebbe se la sollecitazione avesse il suo valore finale fin dall'inizio della deformazione; il teorema di Betti, o primo principio di reciprocità, che definisce il lavoro indiretto che compare nell'espressione del lavoro risultante dall'applicazione di due sistemi di forze e che risulta uguale quale che sia l'ordine di applicazione delle sollecitazioni; il teorema di Maxwell, analogo a quello di Betti, che dimostra l'uguaglianza degli spostamenti dovuti a una forza unitaria applicata successivamente nei punti A e B; il teorema di Castigliano, o delle derivate del lavoro, che esprime sia gli spostamenti sia le rotazioni mediante la derivata parziale del lavoro, eseguita rispetto a una delle forze esterne che sia applicata nel punto considerato; il teorema di Menabrea, o del minimo lavoro, che dimostra come la distribuzione equilibrata delle tensioni interne, che si verifica in un sistema elastico sollecitato, sia quella che rende minimo il lavoro; il teorema di Colonnetti, o secondo principio di reciprocità, che stabilisce il rapporto intercorrente tra le tensioni interne di un corpo elastico in equilibrio e le deformazioni non congruenti; il teorema dei lavori virtuali, che dimostra come lo stato di equilibrio di un corpo sia quello per il quale il lavoro compiuto dalle forze esterne per determinare spostamenti piccolissimi e compatibili risulti nullo.

Studio delle ipotesi semplificative

Affinché la teoria dell'elasticità potesse aderire sufficientemente alla realtà, e i suoi risultati trovarvi effettivo riscontro, è stato necessario fare delle ipotesi semplificative che sono alla base di tutta la teoria e dalle quali non si può prescindere. Tali ipotesi riguardano in primo luogo la natura dei materiali, i quali, oltre che elastici, dovranno anche essere isotropi (avere cioè uguali proprietà elastico-resistenti in ogni punto e direzione). Questa ipotesi dell'isotropia ha consentito di limitare a tre sole le costanti elastiche (E, G, m, legate tra loro dalla relazione che permettono di conoscere il comportamento di qualunque materiale rientrante in tale ipotesi (i materiali anisotropi, invece, necessitano, per essere definiti, di 21 costanti elastiche). Anche per l'isotropia è però necessario tener presente che i materiali reali, sia per loro natura sia per lavorazione, non sono mai perfettamente rispondenti all'ipotesi fatta, anche se ne è accettabile l'approssimazione. Le altre ipotesi fondamentali riguardano invece la forma, i vincoli, le sollecitazioni del corpo in esame e sono quelle che definiscono il cosiddetto solido di Saint-Vénant, al quale sono applicabili le formule caratteristiche, da lui definite, per le diverse sollecitazioni semplici:

La teoria dell'elasticità trova la sua massima applicazione nella scienza delle costruzioni, nella quale la sperimentazione pratica verifica e dimostra la teoria matematica. Per esempio, le costanti elastiche (E) solo dalle prove sperimentali "Per la figura 3 vedi il lemma dell'8° volume." "Vedi la figura 3 alla pagina 511 dell’8° volume." possono derivare i loro valori reali (in kg/cm²) che sono diversi per i singoli materiali; per i principali materiali strutturali si ha: per l'acciaioE=2.100.000 kg/cm² (a trazione e compressione); per l'alluminioE=700.000 kg/cm² (a trazione e compressione); per il calcestruzzoE=200.000 kg/cm² (a compressione); per il legnoE=100.000 kg/cm² (a compressione).

Ellisse di elasticità

Un fondamentale strumento di indagine sul comportamento dei solidi elastici piani viene considerato l'ellisse di elasticità, in quanto stabilisce un rapporto di antipolarità tra le forze agenti e i centri di rotazione. Si distingue l'ellisse ordinaria da quella trasversale: la prima, definita da Culmann (1857), considera il caso di forze applicate, giacenti nel piano dell'asse geometrico del solido elastico (si riferisce quindi al problema di Saint-Vénant); la seconda, definita da Ricci Curbastro (1910), considera invece il caso di forze normali a tale piano (riferendosi all'ipotesi di Clebsch). Se si considera una trave elastica, e se ne esamina una generica sezione, si troverà una corrispondenza biunivoca tra le forze giacenti sulla sezione e i centri di rotazione di questa; infatti, definito il peso elastico come rapporto tra la rotazione della sezione e il momento applicato

l'ellisse di elasticità consente di trovare, data la forza, il centro di rotazione (o viceversa), essendo antipolare e antipolo rispetto a essa. La determinazione di tale ellisse richiede in genere il calcolo della rotazione della sezione e degli spostamenti di un punto giacente su di essa, per tre diversi casi di sollecitazione.