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ellìttico (matematica)

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Descrizione generale

agg. (pl. m. -ci) [sec. XVII; da ellisse]. In matematica, relativo all'ellisse, integrale ellittico, funzioni ellittiche; in senso generalizzato, relativo al caso nel quale un'equazione di secondo grado a coefficienti reali non ha soluzioni reali. In questo senso si ha per esempio: A) geometria ellittica, tipo di geometria non euclidea nella quale, nel caso del piano, non esiste il parallelismo; due rette complanari hanno sempre uno e un sol punto in comune. In tale geometria, ideata da B. Riemann, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto; B) punto ellittico, punto di una superficie tale che il piano tangente lascia nel suo intorno la superficie tutta da una parte (le tangenti principali sono complesse e coniugate).

Analisi matematica

Funzione ellittica, funzione meromorfa per la quale esistono due numeri complessi ω₁ e ω₂ con rapporto non reale (per esempio, ω₁=1, ω₂=i) che sono i periodi della funzione; cioè per ogni x e per n₁ e n₂ interi arbitrari è

è quindi funzione doppiamente periodica. Il nome deriva dal fatto che l'inizio storico dello studio di tali funzioni è collegato al calcolo del perimetro di un'ellisse. L'ordine di una funzione ellittica è il numero dei suoi poli, ciascuno conteggiato con il suo ordine di molteplicità. Non esistono funzioni ellittiche del primo ordine a meno che non si riducano a costante; la derivata di una funzione ellittica è ancora una funzione ellittica con gli stessi periodi; l'integrale di una funzione ellittica calcolato lungo il perimetro del parallelogramma del piano complesso in cui i vertici siano l'origine, ω₁, ω₂, ω₁+ω₂ (detto parallelogramma dei periodi) è nullo. Funzioni ellittiche molto importanti sono quelle introdotte da Abel e K. Jacobi per risolvere gli integrali ellittici, cioè integrali del tipo dove R(t) è un polinomio in t di terzo o quarto grado. Nel caso del calcolo dell'integrale ellittico di 1a specie:

diventa, ponendo x= senϑ:

considera il limite superiore x dell'integrale come funzione dell'integrale stesso, invertendo così il problema. Se si indica con u l'integrale si pone u, variabile indipendente, e, come funzioni da determinare, φ (funzione ellittica detta amplitudine di u: φ=amu) e snu (funzione ellittica detta seno amplitudine di u). In base a queste si definiscono le altre funzioni ellittiche: coseno amplitudine di u:

deltamplitudine di u:

Queste tre funzioni possono essere studiate come le soluzioni del sistema di equazioni differenziali del primo ordine:

con le condizioni iniziali

infatti si dimostra che

Si può anche dimostrare che x₁ e x₂ hanno periodo 4k e x₃ periodo 2k dove:

Le funzioni snu, cnu, dnu hanno ordine 2. Gli integrali ellittici di 1a specie sono casi particolari di integrali ellittici: come è stato dimostrato da A. Legendre, qualsiasi integrale ellittico può ridursi o a un integrale ellittico di 1a specie o a un integrale ellittico di una delle due forme:

dette rispettivamente integrali ellittici di 2a e di 3a specie.

Geometria

Cilindro ellittico, cilindro avente un'ellisse come direttrice. È una quadrica, la cui equazione canonica nello spazio è:

Iperboloideellittico o iperboloide a due falde, quadrica la cui equazione canonica è:

È costituito da due falde che si estendono all'infinito. Paraboloideellittico, quadrica la cui equazione canonica è:

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