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equivalènza

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Lessico

sf. [sec. XIV; dal latino tardo aequivalēre]. L'essere equivalente. In matematica e in fisica, i simboli più usati per le relazioni di equivalenza sono: ≡; ~; +; <=>. § In un sistema di logica, due espressioni A e B sono dette equivalenti quando sono teoremi del sistema tanto A —→ B che B —→ A. Semanticamente ciò ha significati diversi secondo le interpretazioni del sistema. Se il sistema si interpreta estensionalmente e l'implicazione è quella materiale, allora l'equivalenza significa avere gli stessi valori di verità. Se invece il sistema è interpretato intensionalmente e l'implicazione è stretta, allora l'equivalenza significa avere uguale senso o intensione.

Matematica

Sono dette relazioni di equivalenza in un insieme I tutte le relazioni riflessive, simmetriche e transitive in tale insieme. Riflessiva è una relazione per la quale ogni elemento è equivalente a se stesso; simmetrica significa che se a è equivalente a b anche b è equivalente ad a; transitiva significa che se a è equivalente a b e b è equivalente a c anche a è equivalente a c. Le più notevoli relazioni d'equivalenza sono l'uguaglianza, la congruenza numerica, l'equivalenza geometrica, la similitudine. Una relazione d'equivalenza R su un insieme qualsiasi lo suddivide in classi (sottoinsiemi) disgiunte in modo che elementi x, y di M stanno nella stessa classe solo se sono equivalenti. Per esempio, nel caso della congruenza numerica (modulo m), sull'insieme Z degli interi si ha una partizione di Z in classi di equivalenza dette classi resto mod. m. Poiché per m > 0 i resti che si possono presentare sono solo 0, 1, ..., m - 1 si hanno m classi distinte e in ciascuna di esse si trovano tutti i numeri interi che, divisi per m, hanno lo stesso resto.

Geometria

In particolare, in geometria, è una relazione tra le figure del piano o dello spazio che stabilisce quando due figure hanno la stessa estensione; l'estensione si dice area per le figure piane, volume per i solidi. Alla base della teoria dell'equivalenza sono i seguenti postulati: A) Figure uguali sono equivalenti. B) Ogni figura è equivalente a se stessa; se una figura è equivalente a un'altra, questa è equivalente alla prima; due figure equivalenti a una terza sono equivalenti fra loro. C) Somme di figure equivalenti sono figure equivalenti. Si dimostra che poligoni equivalenti sono sempre equiscomponibili e, viceversa, per i postulati A) e C) poligoni equiscomponibili sono equivalenti. Ne consegue che il concetto di area, che nella definizione dell'equivalenza è un concetto primitivo, non riconducibile cioè a concetti più semplici, può sostituirsi con una definizione di equiscomponibilità. In tal modo i postulati A), B) e C) diventano teoremi o corollari delle definizioni. Alcuni teoremi importanti nella teoria dell'equivalenza sono il teorema di Euclide che afferma che il quadrato costruito su un cateto di un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa; il teorema di Pitagora, che afferma che il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Mentre nel piano l'equivalenza può ridursi all'equiscomponibilità, non altrettanto può farsi per i solidi. Esistono di fatto poliedri, per esempio, un tetraedro regolare e un cubo, che non sono equiscomponibili.

Fisica

Si hanno diversi principi di equivalenza per i quali fenomeni apparentemente diversi sono basati sugli stessi principi o sono riconducibili a una stessa sostanza; per esempio, il principio di equivalenza della massa e dell'energia; il principio di equivalenza del calore e del lavoro. In particolare il principio di equivalenza di Ampère stabilisce l'equivalenza fra un circuito chiuso percorso da corrente e una lamina magnetica avente lo stesso contorno, nei confronti del vettore induzione magnetica, quando la faccia Nord della lamina è quella che l'osservatore deve guardare perché il verso della corrente che percorre il contorno gli appaia antiorario; inoltre deve valere la relazione

dove Π definisce la potenza della lamina e μ e μ sono rispettivamente la permeabilità magnetica relativa e quella del vuoto.

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