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frazióne (matematica)

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Descrizione generale

Operatore che applicato a qualsiasi numero lo moltiplica per a e lo divide per b; a è detto numeratore e b denominatore. Una frazione è detta propria o impropria a seconda che a o a>b. Due frazioni sono equivalenti quando operando con esse sopra un qualsiasi numero si ottengono risultati uguali. Si ha che: a/b equivale a c/d se e solo se ad=bc. Identificando frazioni equivalenti si ottengono i numeri frazionari o razionali, che spesso, ma con abuso di linguaggio, vengono chiamati frazioni, mentre sono in realtà classi di frazioni equivalenti, delle quali una singola frazione è un rappresentante. Il simbolo rappresenta la frazione nulla. Si ha che, dato un qualsiasi numero c intero relativo diverso da 0, a/b è equivalente a ac/bc e ad a:c/b:c. In base a questa proprietà si può ridurre una frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore e anche ridurre più frazioni allo stesso denominatore. Si ha inoltre che a/b è maggiore di c/d se e solo se il numero ad è maggiore del numero bc; questa regola può essere applicata per confrontare due frazioni.

Operazioni con le frazioni

Le quattro operazioni sulle frazioni si eseguono nel modo seguente. Per sommare (o sottrarre) due frazioni si riducono dapprima allo stesso denominatore e la somma (o differenza) è una frazione che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma (o differenza) dei numeratori. Il prodotto di due o più frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori, cioè a/b∤c/d=ac/bd. Il reciproco o inverso di un numero razionale diverso da zero è il numero che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore, cioè, se a e b sono interi non nulli, l'inverso di ; il quoziente di due frazioni è dato dal prodotto della prima per l'inverso della seconda. La potenza di una frazione si ottiene elevando a potenza sia il numeratore sia il denominatore: (a/b)=a. Valgono le seguenti relazioni: 1/a=(1/a); (a/b)=(b/a). Per le operazioni ora viste sono valide le stesse proprietà formali che valgono per i numeri interi (i numeri razionali costituiscono cioè un campo). È detta poi frazione decimale, o numero decimale finito, una frazione del tipo dove a e n sono interi. Un numero razionale a/b con a e b interi e primi fra loro è una frazione decimale se b è il prodotto di una potenza di 2 per una potenza di 5. In questo caso se si divide il numeratore per il denominatore si ottiene un numero decimale finito, cioè a un certo punto si ottiene un resto uguale a zero. Se a/b non è una frazione decimale, la divisione fra il numeratore e il denominatore può essere proseguita illimitatamente e si ottiene un numero decimale periodico.

Frazioni continue

Lefrazioni continue sono ricavate da una successione di numeri reali positivia0, a₁, a₂,..., a,..., e sono così rappresentate:

Una frazione continua può essere finita (limitata) o infinita, secondo che siano in numero finito o no i termini della successione. La nozione di frazione continua ha origine dal procedimento euclideo delle divisioni successive per la determinazione del massimo comun divisore di due numeri interi a e b (algoritmo). Tutte e sole le frazioni continue limitate corrispondono ai numeri razionali. Si dice ridotta di ordine n di una frazione continua la seguente frazione:

Esiste una regola che permette di ricavare le successioni ridotte di una frazione continua per la quale: la ridotta di ordine n di una frazione continua è una frazione che ha per numeratore il prodotto del numeratore della ridotta precedente per a aumentato del numeratore dell'antiprecedente e analogamente per il denominatore. Varie e interessanti sono le proprietà delle ridotte: le ridotte di ordine pari formano una successione crescente; le ridotte di ordine dispari formano una successione decrescente; esse formano due classi contigue di numeri razionali e definiscono un numero irrazionale che rappresenta il valore della frazione continua infinita; viceversa un numero positivo irrazionale è sviluppabile in una frazione continua infinita. Una frazione continua infinita è detta periodica se da un certo quoziente in poi i quozienti si ripetono con lo stesso ordine. Tali frazioni sono lo sviluppo di numeri del tipo , detti irrazionali quadratici.