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funzionale (matematica)

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Definizione

Funzione le cui variabili indipendenti sono a loro volta delle funzioni. L'insieme di definizione, o dominio, di un funzionale è perciò un insieme, o spazio, di funzioni e il funzionale è un'applicazione di esso in un sottoinsieme di numeri reali. Un esempio di funzionale è la lunghezza L dell'arco della curvay=y(x) compreso tra i valori x0 e x₁, lunghezza che vale ; a ogni curva y=y(x) definita e continua con la sua derivata prima in (x0, x₁) corrisponde un numero reale.

Analisi funzionale

L'analisi o calcolo funzionale è la parte dell'analisi matematica che si occupa dei funzionali e costituisce una generalizzazione delle proprietà valide per le funzioni di più variabili. Questo capitolo, detto anche calcolo delle variazioni, ha un'origine storica antichissima, ma i primi importanti contributi alla sua sistemazione furono dati da Jean e Jacques Bernoulli. Il calcolo funzionale è basato sull'introduzione del concetto di spazio astratto, nel quale i funzionali sono definiti; questi spazi si differenziano tra loro per come in essi è definita la distanza tra due elementi; si hanno perciò spazi metrici, vettoriali, ecc. Il problema tipico del calcolo funzionale è la determinazione di una o più funzioni, dette estremali, per le quali è definito un funzionale, che rendano massimo o minimo il valore del dato funzionale rispetto a tutte le altre funzioni definite in un intorno di esse. Esempio importante è il problema degli isoperimetri, che consiste nel determinare tra tutte le curve chiuse di lunghezza L quella che contiene la figura di area massima; fu risolto da Eulero, il quale dimostrò che la curva risolutrice è la circonferenza di perimetro L. Un altro importante esempio è quello della brachistocrona: si considerino nel piano verticale due punti A(x0,0), B(x₁, y₁; y₁>0) e si determini la curva lungo la quale si muove senza attrito un punto pesante che, sotto l'azione della sola forza di gravità, va nel minor tempo possibile da A, dove possiede velocità nulla, a B: si trova che questa curva, detta appunto brachistocrona, è un arco di cicloide. Tutti i più noti problemi che riguardano la determinazione di funzioni estremali si riducono alla ricerca di funzioni che siano estremi di opportuni integrali; si può dimostrare che esiste una condizione necessaria, ma non sufficiente, che permette di determinare queste funzioni. Si tratta, cioè, di stabilire quali sono le condizioni cui deve soddisfare una funzione y=y(x) perché l'integrale

abbia un estremo nell'intervallo (x0, x₁). Si trova che y=y(x) deve soddisfare all'equazione fondamentale di Eulero:

che, simbolicamente, si può scrivere [F]=0, dove il primo membro è detto derivata variazionale di F rispetto a y. Il ruolo di questa derivata è analogo a quello del gradiente per gli ordinari problemi di massimo e di minimo. Ogni y=y(x) soluzione della suddetta equazione di Eulero è pertanto una funzione estremale. Con procedimenti analoghi si ottiene per un dato funzionale, dipendente da più funzioni, un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine che fornisce le condizioni necessarie, ma non sempre sufficienti, cui devono soddisfare le funzioni incognite per essere estremali del funzionale assegnato.

Equazioni funzionali

Sono le equazioni le cui incognite non sono numeri, ma funzioni. Esempi notevoli di equazioni funzionali sono le equazioni differenziali, per quanto generalmente in analisi matematica con questo termine si indichino oggi specificamente equazioni non riducibili a equazioni differenziali. § Per i determinanti funzionali, vedi Jacobi.

G. Fichera, Lezioni sulle trasformazioni lineari, vol. I, 1954; M. Zamansky, Introduzione all'algebra e all'analisi moderna, Milano, 1968; R. Balduccetti, G. Morelli, Studio delle funzioni, Roma, 1988.