funzione (matematica)

Descrizione generale

Corrispondenza fra gli elementi di due insiemi, per la quale ogni elemento del primo insieme viene associato a un elemento dell'altro. Una funzione da un insieme X a un insieme Y è una legge, che indichiamo con f, che associa a ciascun elemento x di X un elemento y di Y; tale elemento y viene detto immagine di x attraverso f e viene indicato con f(x). L'insieme X viene detto insieme di definizione o dominio di f, l'insieme Y viene detto codominio di f. Il fatto che f sia una funzione di dominio X e codominio Y viene sintetizzato con il simbolo f:X —→ Y. Se, per esempio, a ogni cittadino italiano associamo il suo comune di residenza, abbiamo una funzione f dall'insieme X dei cittadini italiani all'insieme Y dei comuni italiani. Se x è un cittadino italiano, f(x) è il comune di residenza di x. Abbiamo quindi f:X —→ Y. L'insieme X dei cittadini è il dominio della funzione f, l'insieme Y è il codominio della funzione f. Consideriamo ora la legge che associa a ogni comune italiano la regione cui esso appartiene. Abbiamo una funzione g dall'insieme Y dei comuni italiani all'insieme Z delle regioni italiane. Se y è un comune, g(y) è la regione cui appartiene il comune y. Abbiamo quindi: g:Y —→ Z. Date due funzioni f:X —→ Y e g:Y —→ Z si definisce funzione composta di f e g la funzione g o f:X —→ Z definita da (g o f) (x)=g[f(x)]. L'immagine di x attraverso la funzione composta g o f è quindi ottenuta considerando innanzitutto l'immagine f(x) di x attraverso f e considerando poi l'immagine g[f(x)] di f(x) attraverso g. Consideriamo, per esempio, la funzione f:X —→ Y che associa a ogni cittadino il suo comune e la funzione g:Y —→ Z che associa a ogni comune la sua regione; la funzione g o f associa a ogni cittadino italiano x la regione cui esso appartiene. La funzione f associa, infatti, a ogni cittadino x il suo comune di residenza f(x) e la funzione g associa al comune f(x) la regione di appartenenza g[f(x)]. Una funzione f:X —→ Y si dice iniettiva se, dati due elementi distinti x e x´ dell'insieme X, si ha che f(x) è distinto da f(x´). Per esempio, la funzione f che associa a ogni cittadino il suo comune non è iniettiva. Esiste, infatti, sicuramente un comune avente almeno due abitanti, che chiamiamo x e x´, quindi f(x)=f(x´). Indichiamo con N l'insieme dei numeri naturali, cioè i numeri interi maggiori o uguali a 0. Consideriamo la funzione d:N —→ N, che duplica i numeri, che associa cioè a ogni numero naturale n il suo doppio 2n; quindi d(n)=2n. Questa funzione è iniettiva; si ha infatti che, se n è diverso da m, allora d(n)=2n è diverso da d(m)=2m. Una funzione f:X —→ Y si dice surgettiva se ogni elemento y di Y è immagine di almeno un elemento di X, esiste cioè almeno un elemento x di X tale che si ha f(x)=y. La funzione f vista sopra, che associa a ogni cittadino italiano il suo comune, è surgettiva. Ogni comune italiano y ha, infatti, almeno un cittadino che indichiamo con x; quindi f(x)=y. La funzione d che duplica i numeri naturali non è surgettiva. Se infatti prendiamo il numero naturale 5, non esiste alcun numero naturale che abbia come doppio 5; quindi il numero 5 non è immagine di alcun numero naturale. Una funzione f:X —→ Y si dice biunivoca se essa è contemporaneamente iniettiva e surgettiva, cioè se per ogni elemento y di Y esiste un solo elemento x di X tale che f(x) sia uguale a y. Indicato con R l'insieme dei numeri reali, consideriamo, per esempio, la funzione t:R —→ R che triplica ogni numero reale, cioè t(x)=3x. Questa funzione è biunivoca; dato infatti comunque un numero reale y esiste un solo numero reale x tale che t(x) sia uguale a y: è il numero reale y/3. Data una funzione biunivoca f:X —→ Y, si definisce funzione inversa di f la funzione f^-1: Y —→ X definita da f^-1(y)=x, dove x è l'unico elemento di X che ha come immagine y. Si ha quindi (f^-1 o f)(x)=x per ogni elemento x di X e anche (f o f^-1)(y)=y per ogni elemento y di Y. Se consideriamo per esempio la funzione biunivoca t:R —→ R che triplica ogni numero reale, la sua funzione inversa è la funzione t^-1: R —→ R che divide per 3 ogni numero reale. La divisione è quindi la funzione inversa della moltiplicazione. Analogamente la sottrazione è la funzione inversa dell'addizione.

Funzioni a una o più variabili

Storicamente la prima definizione di funzione f:X —→ Y è stata data nel caso in cui sia X che Y siano insiemi numerici. In questo caso il numero f(x) associato dalla funzione f al numero x si dice valore della f in x. La x è detta variabile indipendente, la y variabile dipendente. Questa è la definizione di funzione di una variabile secondo Dirichlet. Se x e y sono numeri reali si ha una funzione reale di variabile reale; se x è reale e y complessa si ha una funzione complessa di variabile reale; se x è complessa e y reale si ha una funzione reale di variabile complessa; se x e y sono complesse si ha una funzione complessa di variabile complessa. La definizione data inizialmente per le funzioni di una variabile si estende alle funzioni di due variabili, z=f(x, y), nei seguenti termini: sono assegnati un insieme di coppie (x, y) di numeri, una corrispondenza che associa a ogni coppia (x, y) un numero z=f(x, y). Analoga definizione si può dare per funzioni di più variabili; qui ci si limiterà però a considerare le funzioni di un'unica variabile. Per rappresentare una funzione allorché esiste un'espressione analitica (per esempio, ; y=log x), l'insieme di definizione è il massimo insieme in cui l'espressione conserva significato. Allora, nella funzione , se si vogliono considerare solo valori reali di y, dovrà essere x≤–1 e x≥+1, mentre nella funzione y=log x sarà x>0. Non è detto però che per definire una funzione debba essere assegnata un'espressione analitica; una funzione può essere pienamente definita senza che ne sia data alcuna espressione analitica: per esempio, se ci si propone di misurare con un termometro la temperatura di un locale al passare del tempo, misurato con un orologio, si vede che a ogni istante t la corrispondente temperatura T è determinata. Ma non esiste, per rappresentare la funzione T=f(t), alcuna espressione analitica. § Funzioni. univoche e plurivoche. Sono funzioni univoche, quelle considerate fin qui, nelle quali a ogni x corrisponde una sola y; le funzioni plurivoche (o a più valori) sono quelle per cui a ogni x di X corrispondono due o più y di Y, come per esempio nella che, nel campo complesso, ammette n valori che sono le n radici n-esime di x. L'espressione analitica che rappresenta la funzione può anche non presentarsi sotto la forma y=f(x), detta esplicita, ma come funzione di due variabili uguagliata a zero, cioè F(x, y)=0, detta forma implicita.

Funzioni rappresentabili analiticamente

In generale, le funzioni definite mediante un'espressione analitica si classificano nel modo seguente: funzioni razionali, quelle nella cui espressione analitica compare solo un numero finito di addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni (funzioni razionali intere) o anche un numero finito di divisioni (funzioni razionali fratte); funzioni irrazionali, quelle la cui espressione analitica contiene, oltre alle precedenti operazioni, un numero finito di estrazioni di radice; funzioni algebriche, le funzioni definite implicitamente da un'equazione contenente solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, eseguite sia sulla variabile indipendente, sia su quella dipendente; ne sono casi particolari le funzioni razionali; funzioni trascendenti sono le funzioni non algebriche e si distinguono in funzioni trascendenti elementari (funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche, funzioni circolari, funzioni iperboliche) e funzioni trascendenti non elementari (funzioni ellittiche, funzioni abeliane, ecc.). Più in generale, sono dette elementari, oltre alle suddette funzioni trascendenti, anche le funzioni razionali intere e fratte.

Funzioni reali di variabile reali

Rinviando alla voce funzione analitica per la trattazione delle funzioni complesse, sono svolte qui di seguito alcune considerazioni relative alle funzioni reali di variabile reale. Una funzione definita nell'intervallo chiuso [a,b], definita cioè per ogni numero x tale che a≤x≤b, è detta limitata superiormente quando l'insieme dei valori f(x) che essa assume è limitato superiormente, cioè quando esiste un numero k tale che f(x)≤k per ogni x con (a≤x≤b); analogamente per le funzioni limitate inferiormente. Una funzione limitata sia inferiormente sia superiormente si dice limitata, altrimenti è detta illimitata. Il limite superiore di una y=f(x), definita in [a,b], è il limite superiore dei valori che la funzione assume in [a,b]; analoga è la definizione di limite inferiore; l'oscillazione di una funzione in [a,b] è la differenza tra i limiti superiore e inferiore della funzione in [a,b]. Se è (a≤x_0≤b) e per ogni x di [a,b] è f(x)≤f(x₀), x₀ è un punto di massimo assoluto e il valore M=f(x₀) è detto massimo assoluto di f(x) in [a, b]; in modo analogo si definisce un punto di minimo assoluto e il minimo assoluto. Sono date qui di seguito le definizioni di funzione monotona, funzione pari, funzione dispari e funzione periodica. Per i numerosi altri tipi di funzione non citate, si rinvia alle voci specifiche. In particolare, per funzione continua e tutte le questioni connesse con la continuità, vedi continuità; per funzione derivata, vedi derivata; per funzione integrale, vedi integrale; per il limite di una funzione, vedi limite. Per altre questioni, relative alle funzioni, vedi anche curva e singolarità.

Funzioni monotone

Nell'intervallo [a,b] su cui sono definite, esistono vari tipi di funzione monotone: crescente, non decrescente, decrescente, non crescente. Si hanno le seguenti definizioni: siano dati due qualsiasi valori x´ e x‟ dell'intervallo di definizione della funzione, con x´f(x´)(x‟), la funzione è crescente in [a,b]; se f(x´)≤f(x‟), la funzione è non decrescente in [a,b]; qualora f(x´)>f(x‟), la funzione è decrescente in [a,b]; se f(x´)≥f(x‟), la funzione è non crescente in [a,b]. Una proprietà fondamentale delle funzioni monotone in un intervallo è che esse ammettono limite in questo intervallo. Per una qualsiasi funzione si dice, infine, intervallo di decrescenza un intervallo, in genere non coincidente con l'intervallo di definizione, in cui essa è decrescente; si dice intervallo di crescenza un intervallo nel quale è crescente.

Funzione definita sull'asse reale (–∞a per cui f(x+a)=f(x) per ogni x; a è detto periodo. Sono esempi di funzioni periodiche (di periodo 2π) le funzioni circolari sin x e cos x.

Rappresentazione di una funzione: i diagrammi

Il modo più comune di studiare una funzione è quello di tracciarne il grafico, cioè di tracciare su un piano cartesiano la curva costituita dall'insieme di punti P(x, f(x)). Il calcolo differenziale fornisce delle regole che permettono, anche quando l'espressione analitica è complicata, di ottenere con una certa precisione l'andamento del grafico. Le più importanti sono le seguenti: studio dell'insieme di definizione della funzione; calcolo dei valori assunti dalla funzione negli estremi dell'intervallo di definizione mediante procedimenti di passaggio al limite; studio degli intervalli di crescenza e di decrescenza della funzione per mezzo della sua derivata prima; ricerca di eventuali punti di massimo e di minimo, di asintoti obliqui, orizzontali e verticali; ricerca di eventuali simmetrie o periodicità della funzione; studio delle concavità e ricerca di punti di flesso per mezzo della derivata seconda. Si consideri in particolare una funzione y=f(x) dotata di derivate in un punto x₀; indichiamo con f´(x₀), f‟(x₀), f‴(x₀), f^(k)(x₀) rispettivamente la derivata prima, seconda, terza e la derivata di ordine k della funzione calcolate nel punto x₀. Il punto (x₀, f(x₀)) del diagramma di f(x) si dice flesso ordinario o di prima specie se si ha f‟(x₀)=0 e f‴(x₀)≠0. In tale punto il diagramma della funzione è dotato di tangentet; esiste inoltre un intorno x₀–δ<x₀+δ tale che nelle due parti x₀–δ<x₀ e x₀<x₀+δ il diagramma sta da parti opposte rispetto alla tangente (la tangente attraversa la curva). Il punto (x_0,f(x₀)) viene detto punto di flesso di specie k-1 se si ha f‟(x₀)=f‴(x₀)=...= =f^(k)(x₀)=0 e f^(k+1)(x₀)≠0. Anche in questo caso si ha la tangente nel punto. Se il flesso è di specie dispari, la tangente attraversa la curva. Se è di specie pari, la tangente non attraversa la curva. È detta poi asintoto di una funzione una retta alla quale tenda la tangente alla curva rappresentativa della funzione, al tendere all'infinito del punto di contatto (in altri termini, la distanza tra curva e retta diventa piccola quanto si vuole, senza però mai annullarsi). Si hanno asintoti orizzontali del tipo y=k tutte le volte che il limite per x tendente a infinito di f(x) è uguale a k; si hanno asintoti verticali del tipo x=h tutte le volte che il limite per x tendente a h di f(x) è uguale a infinito; si ha asintoto obliquo di equazione y=mx+q quando si ha contemporaneamente che il limite per x tendente a infinito di f´(x) è uguale a m e il limite per x tendente a infinito di f(x)-mx-q è uguale a 0. Studiamo, come primo esempio, il grafico della funzione y=e^-². Questa funzione è importante nel calcolo delle probabilità; il suo diagramma viene chiamato curva gaussiana. La funzione è definita su tutto l'asse reale (–∞<x<+∞); essa è pari, quindi il suo diagramma è simmetrico rispetto all'asse delle y ed è pertanto sufficiente studiare la funzione solo per x>0. Essa è sempre positiva; si ha e . La derivata prima y´ è nulla solo per x=0 e siccome per x<0, y´>0, in questo intervallo y è crescente, mentre per x>0, y´<0 y è decrescente; per x=0 si ha un punto di massimo. La derivata seconda y‟ si annulla per e poiché è negativa per e positiva per in si ha un flesso; dal segno di y‟ si ricava che la concavità della curva è verso il basso per e verso l'alto per . Si ha inoltre che il limite per x tendente a infinito di y è uguale a 0; quindi l'asse delle x è asintoto orizzontale. Per simmetria si ricava l'andamento del grafico per x<0. "Per la figura 1 vedi il lemma del 9° volume." "Per il grafico della funzione y = e-x2 vedi pg. 225 del 10° volume." Come secondo esempio si consideri la funzione . Se , cioè se , la funzione diventa: e va studiata nell'intervallo (1≤xx<+∞), perché per x=e si annulla il denominatore. Se log x<0, cioè se x<1, la funzione diventa: e va studiata nell'intervallo (0<x<1/e) e nell'intervallo (1/e<x<1). Nel primo caso, il diagramma ha inizio in A≡(1,1). Poiché

la retta y= -1 è un asintoto orizzontale. Inoltre, poiché il limite sinistro e il limite destro per x tendente a e sono uguali rispettivamente a +∞ e a -∞, la retta x=e è un asintoto verticale. Essendo poi y´=2/[x(1-log x)²] sempre positiva, la funzione è sempre crescente. Il segno della derivata prima, infatti, indica dove la funzione è crescente (y´>0) e dove è decrescente (y´<0). Invece, i punti nei quali y´=0 (e y‟ ≠ 0) sono punti di massimo o di minimo. Nell'intervallo di definizione la derivata prima è sempre diversa da zero e pertanto in questo intervallo non vi sono punti di massimo o di minimo. Inoltre, la derivata seconda non si annulla mai, per cui la funzione non ha flessi. Questi punti esistono quando y‟ = 0 (e y‴≠0); inoltre, per xy‟>0, quindi il diagramma volge la concavità verso l'alto; per x>e, y‟<0, quindi il diagramma volge la concavità verso il basso. Il segno di y‟, infatti, serve per individuare verso dove volge la concavità il diagramma di y; precisamente, laddove la derivata seconda è maggiore di zero la concavità volge verso l'alto e laddove è minore di zero volge verso il basso. Per la funzione si ha che il limite sinistro e il limite destro per x tendente a 0 della funzione sono uguali a -1, mentre per x=1 la funzione è uguale a 1, quindi il diagramma inizia in B≡(0, -1) e termina in A≡(1,1). Si ha anche che il limite sinistro e il limite destro per x tendente a 1/e sono uguali rispettivamente a -∞ e a +∞ e pertanto la retta x=1/e è un asintoto verticale. Poiché y´ è uguale a , nell'intervallo di definizione la derivata è sempre diversa da zero, per cui non vi sono punti di massimo o di minimo; inoltre, in questo intervallo la derivata prima è sempre minore di zero e pertanto y è sempre decrescente. Inoltre, e quindi y‟ è uguale a 0 per log x=-3 (x=e^-3); poiché y‟ cambia segno quando x passa attraverso il valore e^-3 si ha che x=e^-3 e

sono le coordinate di un punto di flesso F. Si ha poi, considerando anche il denominatore, che per 0<x-3, y‟>0 e y volge la concavità verso l'alto; per e^-3<x-1, y‟<0 e y volge la concavità verso il basso; per e^-1<x<1, y‟>0 e y volge la concavità verso l'alto. Nellla funzione " Per il grafico della funzione y = (1+ log x)/(1 - log x) vedi pg. 225 del 10° volume " . "Per la figura 2 vedi il lemma del 9° volume." si può osservare che nel punto A non esiste derivata prima, ma esistono la derivata destra e la derivata sinistra e quindi la funzione ha ivi due tangenti con diversi coefficienti angolari. Non esiste, infine, nessun asintoto obliquo. Un esempio di funzione che presenta asintoti obliqui è dato invece dalla

Si ha:

pertanto le rette

sono due asintoti obliqui per la curva. " Per il grafico della funzione y = arctg x - x/2 vedi pg. 225 del 10° volume" . "Per la figura 3 vedi il lemma del 9° volume." Consideriamo, infine, la funzione y=sin 1/x; essa è una funzione dispari, quindi il suo diagramma è simmetrico rispetto all'origine. Per questa funzione non esistono i limiti sinistro e destro per x tendente a 0 di y. Inoltre i limiti per x tendente a +∞ e a -∞ sono uguali a 0 per cui l'asse delle x è un asintoto orizzontale. È anche e, poiché per e per queste sono le ascisse di punti di massimo o di minimo. Più precisamente i punti di coordinate (2/[(4k+1)π], 1) sono punti di massimo e quelli di coordinate (2/[(4k+3)π], -1) sono punti di minimo. Continuando, si può calcolare la y‟ e determinare per quali valori y‟= 0 e così si trovano le coordinate dei punti di flesso. "Per il grafico della funzione y = sin 1/x vedi pg. 226 del 10° volume." . "Per la figura 4 vedi il lemma del 9° volume."