intuizionismo (matematica)

indirizzo di ricerca sviluppatosi in connessione con le indagini sui fondamenti della matematica. Si incentra sull'opera di L. E. J. Brouwer e sull'approfondimento e lo sviluppo delle idee in essa contenute. Secondo la concezione dell'intuizionismo, la matematica è un insieme di costruzioni mentali e le leggi logiche non hanno validità universale. Per l'intuizionismo la validità della matematica, in quanto scienza costruttiva, è indipendente dalla logica, proprio perché quest'ultima si riferisce a espressioni linguistiche, cioè a un momento che è successivo a quello del concepimento delle costruzioni mentali, quello della loro estrinsecazione verbale. Non è quindi possibile fondare la matematica sulla logica. Inoltre, proprio per il carattere costruttivo della matematica intuizionista, non sono necessariamente valide per essa le leggi logiche. Si respinge, per esempio, il principio del terzo escluso (dato un enunciato A, se questo non è vero, allora è vero non A), in quanto, se non si dà una costruzione per l'enunciato A, questo non comporta necessariamente che sia possibile la costruzione di non A. Vengono parimenti respinte tutte quelle nozioni non prettamente costruttiviste come, per esempio, quella di insieme e quindi la matematica che su di esse si fonda. L'intuizionismo fonda la propria matematica sulle nozioni di “successione di libere scelte”, di “spiegamento”, di “specie”, di “soggetto pensante” e di “costruzione”. Tali concetti, lasciati non analizzati da Brouwer, che si rifiutò pure di dare un'esposizione formale della matematica intuizionista, vennero in seguito precisati da altri intuizionisti. In particolare, A. Heiting, negli anni Trenta del Novecento, diede un'esposizione formale della logica e dell'aritmetica intuizioniste così da consentirne un più preciso raffronto con le altre concezioni della matematica. Va osservato che, per Heiting, le leggi logiche hanno validità solo nella misura in cui sono interpretabili come costruzioni. Così, per esempio, quelle relative alla congiunzione sono valide nella misura in cui riflettono l'idea che una costruzione che realizza A ∧ B è una costruzione composta da una che realizza A e da una che realizza B. Non sussiste quindi, come per il formalismo, il problema di dimostrare la coerenza di un dato sistema, in quanto per l'intuizionismo essa è garantita dalla stessa intuizione primordiale. Negli ultimi decenni del sec. XX l'intuizionismo ha ulteriormente sviluppato i tentativi di dare una puntualizzazione formale delle nozioni per esso fondamentali (costruzione, specie, ecc.) per opera di G. Kreisel, P. Martinlof, N. Goodman e altri.

Bibliografia

M. C. Fitting, Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing, Amsterdam, 1969; A. Ttroelstra, Principles of Intuitionism, Berlino, 1969; J. Myhill, A. Kino, R. E. Vesley (a cura di), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdam, 1970; E. Marriconi, Esistenza e costruzione. Introduzione all'intuizionismo, Pisa, 1983.