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iperbolòide

sm. [sec. XVIII; da iperbole+-oide]. Superficie algebrica del 2º ordine, facente parte della famiglia delle quadriche. Ha conica all'infinito non degenere e costituita di punti reali. Nello spazio euclideo si hanno due tipi d'iperboloide: l'iperboloide ellittico e l'iperboloide iperbolico. Il primo ha equazione canonica

Tale iperboloide viene detto ellittico perché tutti i suoi punti sono ellittici. Infatti l'intersezione di tale iperboloide con un qualsiasi piano a esso tangente è data dal solo punto di tangenza (l'intersezione è cioè data da due rette complesse coniugate). Esso è costituito da due falde che si estendono all'infinito. Se si amplia lo spazio con l'aggiunta degli elementi impropri, le due falde si congiungono attraverso la conica all'infinito. L'asse x è trasverso mentre gli altri due assi non intersecano la superficie. I piani x = k, perpendicolari all'asse delle x, non intersecano l'iperboloide ellittico se - 1 < k < 1, lo intersecano lungo un'iperbole se k < - 1 oppure se k > 1; i piani x = - 1 e x = 1 sono tangenti. I piani perpendicolari all'asse delle y o all'asse delle z = 0 lo intersecano lungo un'iperbole. Se si ha b = c, l'iperboloide ellittico è la superficie ottenuta ruotando intorno all'asse delle x l'iperbole che, sul piano y = 0, ha equazione (x/a)2 - (z/c)2 = 1. L'iperboloide iperbolico, costituito da una sola falda che si estende all'infinito, ha equazione canonica

e viene detto iperbolico poiché tutti i suoi punti sono iperbolici. Infatti l'intersezione di tale superficie con un qualsiasi piano a essa tangente è costituita da due rette. L'asse delle x e l'asse delle y intersecano la superficie mentre l'asse delle z non l'interseca. Le sezioni con i piani z = k, perpendicolari all'asse delle z, sono ellissi. In particolare la sezione con il piano z = 0 è l'ellisse (detta ellisse di gola) di equazione (x/a)2 + (y/b)2 = 1. Le sezioni con i piani perpendicolari all'asse delle x o delle y sono iperboli. Ha due assi trasversi, l'asse x e l'asse y; l'asse z è non trasverso. La sezione con il piano z = 0 è l'ellisse (ellisse di gola) di equazione

Tale tipo di iperboloide può considerarsi come una superficie rigata, dato che esso è luogo di due sistemi lineari di rette reali; per ogni suo punto passa una retta di ciascuno dei due sistemi. Se si ha a = b l'iperboloide iperbolico è la superficie ottenuta ruotando intorno all'asse delle z l'iperbole che, sul piano y = 0, ha equazione (x/a)2 - (z/c)2 = 1.

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