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modale

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Lessico

agg. [sec. XV; da modo]. Di modo, che esprime o riguarda il modo nelle varie accezioni del sostantivo; in musica, notazione modale, vedi modo; in grammatica e in sintassi, attrazione modale, vedi attrazione; particelle modali, quelle che si aggiungono a forme verbali per determinarne il valore in un certo senso, come la particella greca án che conferisce all'ottativo e ai tempi storici dell'indicativo un significato potenziale; proposizioni modali, quelle proposizioni subordinate che indicano la maniera nella quale si svolge il fatto espresso nella reggente, e possono essere esplicite (si è comportato come volevo) o implicite (veniva correndo).

Logica matematica: la logica modale

Studia le relazioni di inferenza proprie di quelle proposizioni che esprimono necessità, possibilità, contingenza. La logica modale trovò un'ampia trattazione già in Aristotele e presso i logici megarici e stoici. Trascurata dalla prima cristianità, trovò cultori nel periodo scolastico quali Abelardo, Guglielmo di Shyreswood, Alberto Magno e Tommaso d'Aquino. A partire dal Rinascimento venne nuovamente trascurata.

Logica matematica: Lewis e il primo sistema di logica contemporaneo

Nel nostro secolo, il rinnovato interesse per la logica modale si deve all'opera di C. I. Lewis, autore del primo completo sistema di logica modale contemporaneo cui seguì tutta una serie di ricerche in stretta connessione con quella più ampia sulle logiche intensionali. Le modalità, nel linguaggio naturale, vengono date da espressioni del tipo “necessariamente p”, “è necessario che p”, “deve essere che p”, ecc., per esprimere la necessità; da espressioni quali “possibilmente p”, “è possibile che p”, “può essere che p”, ecc., per esprimere la possibilità; da analoghe espressioni per l'impossibilità e la contingenza. Tra queste espressioni, combinate in vario modo tra loro e con la negazione, vennero stabilite le seguenti leggi d'equipollenza modale: è necessario che p=è impossibile che non -p=non è possibile che non -p; è necessario che non -p=è impossibile che p=non è possibile che p; non è necessario che p=non è impossibile che non -p=è possibile che non-p; non è necessario che non-p=non è impossibile che p=è possibile che p. Va sottolineato che, a partire dal Medioevo, si distinse tra il fatto che l'espressione modale modifichi il predicato di un enunciato, e in questo caso si parla di modalità de re, oppure modifichi tutto l'enunciato, o modalità de dicto. Infatti l'enunciato “È necessario che la società sia giusta” non è equivalente all'enunciato “La società è necessariamente giusta”. Tale distinzione è importante anche quando si applicano agli enunciati modali gli altri connettivi. Per esempio, l'enunciato composto “Necessariamente o P o Q” non è equivalente all'enunciato composto “O necessariamente P o necessariamente Q”. Un sistema di logica modale proporzionale richiede, oltre ai connettivi del calcolo degli enunciati, i connettivi ☐ e ◊: ☐ si legge “è necessario che p” e ◊ si legge “è possibile che p” e le loro relazioni sono date dalle seguenti definizioni: ◊ p = ¬ ☐ ¬ p e ☐ p = ¬ ◊ ¬ p. Di particolare rilevanza è l'introduzione del connettivo ∝per cui pq = ☐ (p→q) = ¬ ◊ (p ∧ ¬ q) che esprime quella che viene chiamata l'implicazione stretta. Essa venne introdotta da C. I. Lewis per ovviare ai paradossi dell'implicazione materiale (in simboli →). L'implicazione stretta differisce da quella materiale nel senso che per essa valgono leggi più deboli di quelle richieste per la materiale; per esempio, se è possibile affermare (pq) ∝ (p→q) non è possibile affermare (pq) ∝ (pq). Lewis presentò tutta una serie (S₁-S5) di logiche modali che si differenziano tra di loro per il fatto di postulare sempre ulteriori specificazioni delle proprietà dell'implicazione stretta. Questi sistemi risultano l'uno più potente deduttivamente dell'altro, pur restando distinti e gli assiomi che via via vengono aggiunti risultano indipendenti da quelli del sistema iniziale. Sia questo S₁, i suoi assiomi sono:

1)(pq) ∝ (qp)

2)(pq) ∝ p

3)p(pp)

4)((pq) ∧ r) ∝ (p ∧ (qr))

5)p ∝ ¬ ¬ p

6)((p ∝ q)(q ∝ r))(p ∝ r)

7)(p ∧ (p ∝ q)) ∝ q.alle regole proprie del calcolo classico degli enunciati, di sostituzione e di separazione, presenta le regole A) di sostituzione di equivalenti stretti; se in un teorema si sostituisce una sottoformula α con una β per cui sia dimostrabile α ∝ β e β ∝ α, si ottiene ancora un teorema e B) di aggiunzione: se P e Q >sono teoremi, allora anche la loro congiunzione è un teorema. Se agli assiomi di S₁ aggiungiamo l'assioma ◊ (pq) ∝ ◊ p, si ottiene il sistema S₂. Se a questo aggiungiamo l'assioma (pq) ∝ (◊ p ∝ ◊ q), abbiamo S₃. Se a questo aggiungiamo quindi l'assioma ◊ ◊ p ∝ ◊ p si ha S4. Se a S4 si aggiunge l'assioma ◊ p ∝ ☐ ◊ p si ha S5.

Logica matematica : altri sistemi di logica modale

Altri sistemi di logica modale, che risultarono non perfettamente coincidenti con quelli di Lewis, si devono a R. Feys, G. H. von Wright e altri, mentre a R. Barcan Marcus e a R. Carnap si devono, negli anni Quaranta, i primi tentativi di logica modale dei predicati. L'approccio semantico ai sistemi S₁-S5 venne tentato da Lukasiewicz mediante l'elaborazione di sistemi di logiche polivalenti, ma una soddisfacente trattazione semantica della logica modale si ottenne solo alla fine degli anni Cinquanta grazie all'opera di S. Kanger, J. Hintikka e soprattutto di S. A. Kripke. Kripke parte dalla supposizione di disporre di un insieme di mondi, e in senso matematico astratto un mondo può essere identificato con l'insieme delle proposizioni vere in quel mondo, egli definisce poi come possibile in un mondo ciò che è vero in almeno un mondo da questo accessibile, mentre definisce necessario in un mondo ciò che è vero in tutti i mondi da questo accessibili. Se R è la relazione essere accessibile, allora, secondo le diverse assunzioni circa le proprietà (per esempio. simmetria, riflessività, transitività) di R si avranno differenti proprietà di necessario e possibile e quindi differenti sistemi modali. In altri termini, si può dimostrare che diversi sistemi modali hanno come teoremi tutte e sole le formule valide in tutti i mondi, assumendo di volta in volta diverse relazioni di accessibilità. Sullo schema fissato da Kripke è possibile costruire semantiche per buona parte delle logiche intensionali diverse da quella modale. Su questa base è possibile anche chiarire molti problemi riguardanti i rapporti tra connettivimodali e quantificatori che riportano ai dibattiti medievali sulla modalità de dicto e de re.