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moviménto (geometria)

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Il movimento rigido

Due figure piane o solide sono congruenti se esiste un movimento che porti l'una figura a sovrapporsi all'altra. Si riconosce che un movimento nel senso della geometria elementare altro non è che un movimento rigido (o isometria), cioè una corrispondenza del piano o dello spazio in sé che conserva inalterate le mutue distanze dei punti delle figure mosse. Un movimento si dice diretto o inverso secondo che gli orientamenti delle figure siano o non siano conservati. In conseguenza, due figure sono direttamente o inversamente congruenti secondo che esista un movimento diretto o inverso che porti l'una a sovrapporsi all'altra. L'insieme di tutti i movimenti del piano o dello spazio forma un gruppo, detto gruppo dei movimenti, rispetto al prodotto operatorio, cioè all'operazione che a due movimenti associa il movimento ottenuto applicando successivamente i due movimenti assegnati. Il sottoinsieme dei movimenti diretti è un sottogruppo. Con derivazione dai concetti della meccanica, la geometria elementare può definirsi come l'insieme di quelle proprietà delle figure che sono invarianti per i movimenti.

La simmetria, la traslazione, la rotazione

Con procedimento diverso, si può assumere come primitivo il concetto di cerchio e si possono definire uguali due segmenti se sono raggi di uno stesso cerchio. Si danno quindi le definizioni di simmetria rispetto a un punto (simmetria centrale), a una retta (simmetria assiale) e rispetto a un piano. Il prodotto di due simmetrie centrali è una traslazione, quello di due simmetrie assiali è una rotazione se gli assi di simmetria sono incidenti e una traslazione se gli assi di simmetria sono paralleli. Un movimento piano può pertanto definirsi come la trasformazione del piano in sé ottenuta componendo una traslazione, una rotazione e una simmetria assiale; un movimento dello spazio si ottiene componendo fra loro traslazioni, rotazioni e simmetria rispetto a piani.

Le omografie

I movimenti sono particolari omografie, che mutano in sé l'assoluto dello spazio. Per i soli movimenti diretti sussistono le seguenti proprietà: ogni movimento diretto piano è una traslazione o una rotazione (teorema di Eulero); ogni movimento diretto dello spazio è una rototraslazione (o movimento elicoidale), cioè il prodotto di una traslazione per una rotazione avente l'asse parallelo alla direzione della traslazione.