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sèrie (matematica)

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Generalità

La serie è la generalizzazione della somma nel caso in cui il numero degli addendi, o termini della serie, sia infinito. Essa è definita quando è assegnata la successione un dei termini, cioè quando è nota la legge con la quale si costruisce il termine di posto n. Se gli un sono numeri, si hanno serie numeriche; se sono funzioni, si hanno serie di funzioni che, in particolare, possono essere serie di potenze, serie trigonometriche ecc. Le somme

sono dette somme parziali della serie e sn è la somma parziale n-esima; la successione {sn} = (s0, s₁,..., sn) è la successione delle somme parziali della serie data La serie un+₁+un+₂+un+₃,..., cioè la serie ottenuta eliminando i primi n termini della serie data, si dice resto ennesimo della serie o serie residua dopo l'indice n.

Serie numeriche

Nelle serie numeriche gli elementi sono costituiti da numeri reali o complessi. La serie è convergente e ha per somma S quando {sn} è convergente ed è ; la serie è divergente a quando è . Una serie che verifica una qualunque di queste circostanze è una serie regolare; ogni altra serie è irregolare od oscillante e perciò indeterminata. Da ciò risulta che il carattere di una serie è quello della successione delle somme parziali. In particolare, il resto di una serie è convergente, divergente od oscillante secondo che la serie data sia convergente, divergente od oscillante. La serie è assolutamente convergente quando converge la serie dei valori assoluti dei suoi termini; una serie assolutamente convergente è anche convergente in senso ordinario, ma in generale non vale l'inverso e si dice semplicemente convergente una serie convergente che non è assolutamente convergente (v. convergenza).

Criteri di una serie convergente

Condizione necessaria e sufficiente perché una serie sia convergente è che, preso ad arbitrio un ε>0, si possa determinare un , dipendente da ε, tale che per tutti gli n> e per qualunque intero positivo r sia | sn+-sn | = | un+₁+un+₂ +...+un+| <ε. Poiché tale condizione deve valere anche per r = 1 si ha | un+₁ | <ε e da ciò si ricava che condizione necessaria per la convergenza di una serie è che il suo termine generale tenda a zero per n→∞. Questa condizione però non può venire considerata sufficiente; per esempio, la serie

pur avendo il termine generale che tende a zero per n→∞ è divergente. Per le serie a termini positivi, che sono sempre convergenti o divergenti e mai indeterminate, esistono i seguenti criteri di convergenza. Criterio del confronto: se è convergente e se è tale che , per n = 1, 2,..., allora anche converge; se diverge e , anche diverge. In altri termini, il criterio del confronto si enuncia dicendo che se una serie a termini positivi è convergente, ogni sua minorante è convergente; se invece è divergente ogni sua maggiorante è divergente. Criterio del rapporto: se in il rapporto tra un termine e il precedente è sempre minore o uguale a k<1, allora la serie è convergente; se invece questo rapporto è ≥1 la serie diverge. Da ciò segue che, posto se l<1 la serie è convergente, se l>1 la serie è divergente; se invece l = 1 questo criterio non dà alcuna informazione. Per esempio, la serie è divergente mentre la serie è convergente; in entrambi i casi il limite l è uguale a 1. Criterio della radice: se in la radice n-esima di un è sempre minore o uguale a k<1, la serie è convergente, se invece è ≥1 la serie è divergente. Da ciò segue che, posto , se l<1 la serie è convergente, se l>1 la serie è divergente; se invece l = 1 non si hanno informazioni. Criterio di Raabe: se per esiste un h>1 tale che per tutti gli interi sia la serie è convergente; se invece è, per tutti gli , la serie è divergente. Da ciò segue che, posto se l>1 la serie è convergente, se l<1 la serie è divergente; se invece l = 1 non si hanno informazioni. Se si deve studiare una serie a termini qualunque e non si hanno a disposizione criteri semplici di convergenza, si considera la serie dei moduli, alla quale si possono applicare i criteri di convergenza visti sopra; se uno di tali criteri assicura la convergenza assoluta della serie, questa, in base a quanto detto sopra, risulta anche semplicemente convergente. Una serie è incondizionatamente convergente quando essa converge e inoltre converge ogni serie da essa ottenuta permutando l'ordine dei termini; è condizionatamente convergente nel caso contrario. Analoga è la definizione di serie incondizionatamente o condizionatamente divergente a ±∞. Si può dimostrare che ogni serie convergente con i termini definitivamente di segno costante è incondizionatamente convergente. Tra le serie numeriche sono particolarmente interessanti la serie geometrica, la serie di Mengoli, la serie armonica, la serie armonica generalizzata, la serie esponenziale. La serie geometrica ha somma e pertanto, per | x | <1 la serie geometrica è convergente, mentre per | x | >1 e per x = 1 è divergente; per | x | = 1 ma x ≠ 1 è indeterminata. La serie di Mengoli:

è convergente ed è ; la serie armonica diverge a +∞; la serie armonica generalizzata diverge per e converge per p>1; la serie esponenziale è assolutamente convergente, come si può vedere con il criterio del rapporto: , tende a zero per

Operazioni con le serie, serie somma e serie differenza

Serie somma e serie differenza delle due serie sono rispettivamente le e ; se le serie date sono convergenti anche la serie somma e la serie differenza sono convergenti; se le serie date sono assolutamente convergenti lo sono anche la serie somma e la serie differenza.

Operazioni con le serie, serie prodotto secondo Cauchy

Delle due serie date è la

dove w0 =u0v0

w₁= u0v₁+u₁v0, w₂= u0v₂+u₁v₁+u₂v0,...,wn = u0vn+u₁vn-₁+...+un-₁v₁ +unv0; se le serie date sono assolutamente convergenti allora anche la serie prodotto è assolutamente convergente e ha per somma il prodotto delle somme delle serie fattori.

Operazioni con le serie, serie doppie

Sono serie generalizzate i cui elementi sono individuati da due indici, e cioè

La somma di queste serie può essere ottenuta in diversi modi. La condizione necessaria e sufficiente vista sopra per la convergenza di una serie può essere estesa alle serie doppie per le quali diventa: condizione necessaria e sufficiente per la convergenza è che, preso ε>0, sia possibile determinare e , dipendenti da ε, tali che per tutti gli n> e m>m´ e per qualsiasi p e q sia

La serie doppia è assolutamente convergente quando, comunque si ordinino i suoi termini, si ottiene una serie assolutamente convergente. Il concetto di serie doppia può essere esteso quando gli elementi sono individuati da più di due indici e si ottengono così le serie multiple.

Operazioni con le serie, serie di funzioni

Sono serie i cui elementi sono funzioni di variabile reale o complessa definite in uno stesso insieme, reale o complesso. Considerando per semplicità solo serie del tipo dove u0(x), u₁(x),...un(x),... sono funzioni reali di una variabile reale definite in un intervallo [a, b] dell'asse reale, non si perde di generalità in quanto tutto ciò che si dirà sarà valido anche per le funzioni complesse di variabili complesse. Se x0 è un punto di [a, b], la serie di funzioni si riduce alla serie numerica che può essere convergente, divergente o indeterminata. Una serie di funzioni è convergente in un intervallo [a, b] quando è convergente per tutti gli x di [a, b], cioè quando per ogni x, fissato ε>0, si può determinare un dipendente da x e da ε tale che per ogni n>n´ sia

Una serie di funzioni è uniformemente convergente in [a, b] quando è convergente in [a, b] e dipende da ε e non dal valore x di [a, b]. Dalla convergenza uniforme di una serie discendono importanti proprietà e applicazioni. Per esempio se u0(x), u₁(x),... sono funzioni continue in [a, b] e la serie è uniformemente convergente in [a, b], allora la sua somma S(x) è una funzione continua in [a, b].

Operazioni con le serie, derivazione per serie

È l'operazione con la quale si passa da una serie convergente di funzioni di somma S(x), continue e aventi derivata finita, alla serie avente somma (x), derivata di S(x), uguale alla serie delle sue derivate. Perché l'operazione sia possibile la serie delle derivate deve essere uniformemente convergente.

Operazioni con le serie, integrazione per serie

Integrazione per serie è invece l'operazione con la quale si passa da una serie di funzioni uniformemente convergente in [a, b], avente per somma S(x), alla serie i cui termini sono gli integrali delle funzioni date. Gli estremi di integrazione devono essere finiti e appartenere all'intervallo in cui la serie è uniformemente convergente. Questo teorema può essere utilizzato per ottenere in modo rapido lo sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni. Importantissime serie di funzioni sono le serie trigonometriche che hanno forma

dove i coefficienti a0, a₁, b₁,.., an, bn,...

sono numeri reali; queste serie sono periodiche di periodo 2π e risultano utili nello studio dei fenomeni periodici. Particolari serie trigonometriche sono le serie di Fourier i cui coefficienti si possono esprimere nel seguente modo:

dove f(x) è una funzione limitata e generalmente continua in [0, 2π].

Operazioni con le serie, serie di Taylor

Sia f(x) una funzione definita per x0≤x≤x0+h (oppure x0+h≤x≤x0) che ammetta derivate destre (oppure sinistre) f(n)(x0) nel punto x0 di qualunque ordine n; allora la serie

f(n)(x0)+... è la serie di Taylor relativa al punto iniziale x0 e all'incremento h≥0 (oppure h≤0); se la serie è convergente e ha per somma f(x0+h) allora

f(n)(x0)+...; si dice che una funzione è sviluppabile in serie di Taylor con il punto iniziale x0 nell'intervallo x0≤x≤x0+h (oppure x0+h0) quando: f(x) ammette in x0 derivata destra f(n)(x0) di qualunque ordine; la serie converge per ogni x dell'intervallo stesso; la somma della serie è f(x) per ogni x dell'intervallo. In questo caso si può anche scrivere:

Operazioni con le serie, serie di Mac Laurin

Le serie di Mac Laurin si ottengono dalle serie di Taylor considerando come punto iniziale x0 = 0. Le funzioni elementari possono svilupparsi in serie di Taylor e in serie di Mac Laurin.

Operazioni con le serie, sviluppi di altre serie

Serie esponenziale

Questi sviluppi, che vengono spesso usati per il calcolo dei limiti delle forme di indecisione, sono casi particolari della serie di potenze, cioè della serie del tipo

. Gli sviluppi in serie servono per stabilire il valore di una funzione che sia sviluppabile in serie di Mac Laurin. Per esempio se si vuol trovare sin π/5 si procede così: ricordando che

si calcola

I calcoli sono spesso laboriosi, ma l'approssimazione può arrivare a qualunque cifra decimale. In generale z è variabile complessa e le costanti a0, a,..., an,... sono numeri complessi. Se esiste un punto z0 del piano complesso e un numero reale H>0 tale che per ogni n≥0 sia , la serie di potenze è assolutamente convergente per tutti i valori di z per i quali è | z | < | z0 |. Il limite superiore r dell'insieme dei numeri reali positivi o nulli per i quali la serie di potenze è convergente è il raggio di convergenza della serie e il cerchio che ha il centro nell'origine e raggio uguale al raggio di convergenza è il cerchio di convergenza. Per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze esiste il teorema di Cauchy-Hadamard, per il quale (v. convergenza).