Operazioni con i vettori

I vettori possono essere sottoposti alle operazioni aritmetiche fondamentali: la somma, la differenza e il prodotto.

La somma di due vettori

L'operazione di somma è detta anche composizione di vettori: i vettori addendi sono detti vettori componenti, il vettore somma è detto risultante. Nel caso della somma di due vettori A e B, possono presentarsi tre distinte possibilità:

1. A e B hanno uguali direzione e verso: il vettore risultante A+B è un vettore R avente per direzione e verso quelli dei vettori addendi e per modulo la somma dei moduli dei vettori addendi.

2. A e B hanno uguale direzione ma verso opposto: la risultante R è un vettore avente la stessa direzione dei vettori addendi, per modulo la differenza dei moduli dei vettori addendi e per verso quello del vettore addendo di modulo maggiore.

3. A e B hanno uguale verso ma direzione diversa: in questo caso è necessario introdurre una legge nota come regola del parallelogramma e rappresentata graficamente nella figura 2.2. Per procedere con il calcolo, si devono innanzitutto trasportare i due vettori A e B parallelamente a se stessi, fino a far coincidere in un punto O le loro origini. A partire da ciascuna delle due estremità libere si deve ora tracciare una retta parallela all'altro vettore, in modo da incrociarle in un punto C, disegnando un parallelogramma; la risultante R è in questo modo completamente definita in direzione e intensità dalla diagonale del parallelogramma, mentre il verso è quello che muove dalla comune origine O verso il punto opposto C.

Partendo da un vettore R si possono definire i due vettori A e B che costituiscono i lati di un parallelogramma di cui R è la diagonale; ciò equivale a compiere un'operazione nota come scomposizione di un vettore nelle sue componenti lungo due direzioni assegnate.

La somma di tre o più vettori, infine, può essere eseguita con la regola del parallelogramma componendo i vettori a due a due, e successivamente le loro risultanti, fino a ottenere un unico vettore finale, che costituirà appunto il risultato cercato.

La differenza di vettori

Il caso della differenza tra due vettori A e B viene facilmente riportato a quello della somma, componendo A con il vettore opposto di B: A − B è infatti uguale ad A + (−B).

Il prodotto fra un vettore e uno scalare

La risultante R del prodotto fra un vettore A e uno scalare a è un vettore avente per direzione e verso quelli di A e per intensità il prodotto del modulo di A per il valore di a. Esistono, inoltre, altre due forme di applicazione della moltiplicazione al calcolo vettoriale, dette prodotto scalare e prodotto vettoriale.