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binòmio (sostantivo)

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Lessico

sm. [sec. XVIII; dal latino scientifico binomíum, calco del greco ek dýo onomátōn, di due nomi].

1) Somma algebrica di due monomi o, più in generale, di due grandezze qualsiasi.

2) Per estensione, accordo, affinità di due persone, di due concetti: libertà e giustizia formano un binomio inscindibile; il loro incontro aveva dato luogo a un eccezionale binomio artistico.

Matematica

È detto binomio di Newton l'espressione (x+a) che rappresenta la potenza ennesima del binomio x+a, con n intero. Lo sviluppo del binomio di Newton è dato da

I numeri , coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio sono detti coefficienti binomiali e rappresentano il numero delle combinazioni di n elementi a k a k. Il loro valore numerico è dato da

per esempio e godono di importanti proprietà, spesso applicate per semplificare i calcoli; fra queste ricordiamo: A) . Se il valore di n non è troppo grande, i coefficienti binomiali si possono ricavare con la regola del triangolo di Tartaglia: questo si costruisce scrivendo una serie di numeri disposti per righe; ogni riga inizia e finisce con il numero 1 e ogni altro numero del triangolo si ottiene come somma del numero sopra e di quello a sinistra nella riga immediatamente superiore. I numeri che compongono l'ennesima riga del triangolo sono i coefficienti della potenza ennesima del binomio. Una generalizzazione della formula del binomio di Newton si ha nel caso dello sviluppo di (x+a)α con α reale qualsiasi; in questo caso, per i coefficienti binomiali si ottengono generalmente numeri razionali che possono essere anche negativi. Sviluppando in serie di Taylor la funzione f(x)=(x+1)α si ottiene la serie detta binomiale

Tale serie è convergente per |x|<1. Venne introdotta da Newton per il calcolo delle radici ennesime aritmetiche. Per esempio, ponendo , si trova

§ Lo sviluppo del binomio di Newton è applicato nel calcolo delle probabilità per risolvere il problema delle prove ripetute. Se p è la probabilità costante che un evento ha di verificarsi in ognuna di n prove indipendenti e quindi q è la probabilità che si verifichi il suo evento contrario (cioè che non si verifichi l'evento stesso), la probabilità P, vale a dire la frequenza teorica, che tale evento si verifichi k volte in n prove è data dallo sviluppo della potenza del binomio di Newton cioè da

La distribuzione di probabilità corrispondente è detta distribuzione binomiale o distribuzione bernoulliana, dal nome del matematico Jacques I Bernoulli che per primo la definì nell'opera Ars coniectandi (1713). Il diagramma o la curva che la rappresentano sono detti diagramma e curva binomiali (distribuzione).

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