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continuità

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Lessico

sf. [sec. XIV; da continuo].

1) Qualità o condizione di ciò che è continuo; estensione ininterrotta nello spazio o nel tempo: la continuità della costa, del muro di cinta; la continuità della tradizione artistica; un impiego con carattere di continuità; “una continuità di vita, di gusto, di ideali” (Alvaro); soluzione di continuità, discontinuità, interruzione; fig., senza soluzione di continuità, ininterrottamente.

2) In geologia, con l'espressione continuità stratigrafica o verticale si indicano i rapporti geometrici di concordanza esistenti tra due o più formazioni geologiche depositatesi in un intervallo di tempo durante il quale la sedimentazione è stata continua.

3) In fisica, equazione di continuità.

Elettrotecnica: gruppo di continuità

Alimentatore che consente di supplire a eventuali cali di tensione di rete. Utilizzati tipicamente in quegli ambienti nei quali è necessario garantire regolarità di funzionamento (ospedali, aeroporti e centri di elaborazione dati), i gruppi di continuità fungono da interfaccia elettrica tra rete di alimentazione e carichi di tensione e assolvono a diverse funzioni che vanno dal rifasamento della corrente assorbita dai carichi all'eliminazione delle eventuali distorsioni provocate dalla corrente assorbita nella rete, alla salvaguardia dalle interruzioni di alimentazione di lunga durata, dalle sovratensioni e dai buchi di rete. Si distinguono tre classi di gruppi di continuità: alla prima appartengono quelli che mantengono l'alimentazione del carico senza nessuna interruzione, alla seconda quelli che tollerano un'interruzione della durata di 1 microsecondo, alla terza quelli che tollerano un'interruzione della durata 10 microsecondi. La differenza nelle prestazioni deriva dalla complessità dell'architettura utilizzata, per cui si passa dai gruppi a doppia conversione, che, in caso di totale assenza della tensione di rete, garantiscono il passaggio dall'alimentazione di rete a quella in batteria senza soluzione di continuità, a quelli cosiddetti soccorritori, in cui la continuità è garantita solo dalla velocità con cui si rileva l'interruzione e l'entrata in funzione del gruppo avviene attraverso un apposito circuito e non direttamente come nel caso dei gruppi a doppia conversione.

Matematica

Proprietà di una funzione di non avere interruzioni. La continuità riguarda una vasta classe di funzioni (funzioni continue) che possono essere rappresentate graficamente senza dover mai staccare la matita dal foglio. Una funzione può essere continua in un punto, in un intervallo o in tutto l'insieme in cui è definita. Una funzione f(x) definita nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] dato dai valori di x tali che a≤x≤b è detta continua in un punto x0 dell'intervallo, quando, fissato un numero ε>0, a esso si può associare un numero δ>0 tale che per tutti gli x dell'intervallo [a,b] per i quali è | x-x0 | <δ, risulti | f(x)-f(x0) | ε. Questa disuguaglianza può anche essere scritta nella forma [f(x0)-ε]< f(x)<[f(x0)+ε], che permette di rappresentare geometricamente la continuità

. Una funzione è detta continua in un intervallo quando è continua in ogni punto di esso. Sono, per esempio, funzioni continue le funzioni razionali, le funzioni trigonometriche e le funzioni trigonometriche inverse, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche. Una funzione si dice continua a destra se la disuguaglianza che definisce la continuità è verificata per tutti gli x per cui 0<x-x0<δ; analogamente si dice continua a sinistra se è verificata per gli x per cui è -δ<x-x0<0. Per una funzione y=f(x) definita in [a,b] e ivi continua valgono le seguenti proprietà: A) nell'intervallo [a,b] esiste un punto in cui la funzione f(x) assume il valore massimo e uno in cui assume il valore minimo (teorema di Weierstrass); B) se f(a) e f(b) hanno segni opposti, esiste almeno un punto interno all'intervallo [a,b] in cui la funzione si annulla (teorema di esistenza degli zeri); C) se f(x₁)=α, f(x₂)=β, con x₁, x₂ appartenenti all'intervallo [a,b] ed è α < β, allora, preso un numero γ con α<γ<β esiste un x interno all'intervallo (x₁, x₂) per cui f(x)=γ (questo teorema è una generalizzazione del teorema dell'esistenza degli zeri; viene detto teorema dei valori intermedi o teorema di Darboux); D) se la funzione f(x), oltre a essere continua, è anche strettamente monotona, allora la funzione f-1(x), inversa della funzione f(x), è continua (teorema della continuità della funzione inversa). La continuità ammette forme più forti e più deboli. Una forma più forte è la continuità uniforme, proprietà di certe funzioni per cui fissato ε>0 è possibile determinare un δ, dipendente da ε, ma non da x0, tale che sia | f(x)-f(x0) | <ε per qualunque coppia di x e x0 appartenenti all'intervallo di definizione della f(x) e tali che sia | x-x0 | <δ. Si noti che una funzione f(x) può essere continua in tutti i punti di un insieme senza essere ivi uniformemente continua, per esempio y=x² non è uniformemente continua nel campo reale o complesso; infatti se è , è anche

e non si può determinare nessun δ>0 tale che per tutte le coppie di numeri non nulli x, x0 sia sempre .

Il teorema di Heine-Cantor sulle funzioni continue assicura però che le funzioni continue in insiemi chiusi (cioè contenente tutti i propri punti di accumulazione) e limitati sono anche uniformemente continue in quegli insiemi. Un'altra proprietà più restrittiva della continuità è quella che definisce le funzioni assolutamente continue, cioè funzioni tali che nell'intervallo [a,b] di definizione a ogni ε>0 si possa subordinare un δ>0 in modo che, per ogni insieme di intervalli in numero finito [ai,bi], con i=1, 2,..., n, appartenenti a [a,b], non sovrapponentisi e di lunghezza complessiva minore di δ, sia

in altri termini, la somma delle variazioni di f(x) deve essere minore di ε. Una funzione assolutamente continua è anche continua, ma, in generale, non vale il viceversa; tuttavia si dimostra che una funzione assolutamente continua in un intervallo è anche uniformemente continua in esso. Una proprietà meno restrittiva della continuità è invece quella che caratterizza le funzioni semicontinue, cioè funzioni per le quali valga solo una parte della disuguaglianza [f(x)-ε]≤gf(x)≤gf(x)+ε che definisce le funzioni continue: una funzione è detta semicontinua inferiormente, se per essa vale solo la disuguaglianza di sinistra; è detta semicontinua superiormente se per essa vale solo la disuguaglianza di destra. Una funzione è quindi continua nell'intervallo in cui è definita se in ogni punto di esso è semicontinua inferiormente e superiormente. Per le funzioni semicontinue, si dimostra un teorema di separabilità per cui, date due funzioni f(x) e g(x), definite nell'insieme A, con f semicontinua superiormente e g inferiormente, se è sempre f(x)≤g(x), allora esiste una funzione h(x), continua in A, che verifica per tutti gli x di A la relazione f(x)≤h(x)≤g(x). Sono dette, infine, funzioni quasi-continue le funzioni definite in un intervallo [a,b] per le quali, in corrispondenza a un numero ε>0 comunque piccolo, sia possibile determinare un insieme chiuso di punti di [a,b], dipendente da ε e nel quale la funzione sia continua, tale che la differenza tra l'intervallo di definizione e quest'ultimo abbia misura nulla. I punti dell'insieme di definizione di una funzione in cui essa non è continua sono detti punti di discontinuità. In base alla definizione di limite, la continuità di una funzione f(x) in un punto x0 può essere formulata come segue: f(x) è continua in x0, appartenente al suo intervallo di esistenza, quando in x0 esistono finiti il limite destro e il limite sinistro e quando essi coincidono con il valore della funzione in x0:

.

In base a questa formulazione si dice che: A) f(x) presenta in x0 una discontinuità eliminabile quando esistono finiti entrambi i limiti, uguali tra loro, ma diversi dal valore della funzione in x0. Infatti, se si cambia la definizione di f(x) solo per x=x0 ponendo

la funzione diventa continua per x=x0; B) f(x) presenta in x0 una discontinuità di prima specie, quando esistono i due limiti, ma diversi tra loro; C) f(x) presenta in x0 una discontinuità di seconda specie, quando uno almeno dei due limiti non esiste .In modo analogo si definiscono i vari tipi di discontinuità dalla sinistra o dalla destra. La funzione f(x)=sin(1/x), per esempio, ha in 0 una discontinuità di seconda specie. In 0 non sonoinfatti definiti né il limite sinistro né il limite destro. In topologia viene data una generalizzazione della definizione di continuità analizzata in precedenza per funzioni reali a valori reali. Dati due spazi topologici X e Y, una funzione f: X —→ Y tra essi si dice continuità in un punto x0 se, per ogni intorno V di f(x0), esiste un intorno U di x0 tale che f(U) sia contenuto in V. Molte definizioni e proprietà viste in precedenza si generalizzano al caso di funzioni continue tra spazi topologici. Il teorema di Weierstrass, per esempio, assume la seguente forma: se f: X —→ R è una funzione continua su uno spazio topologico X compatto per ricoprimenti a valori nell'insieme dei numeri reali R, allora esiste nello spazio X un punto in cui la funzione f assume il valore massimo e uno in cui assume il valore minimo. Il teorema dei valori intermedi assume la seguente forma: se f: X —→ R è una funzione continua su uno spazio topologico connesso a valori nell'insieme dei numeri reali R che assume in X due valori distinti α e β, allora la funzione f assume in X tutti i valori compresi tra α e β. Particolare importanza rivestono le corrispondenze biunivoche tra spazi topologici f: X —→ Y tali che, sia la funzione f, sia la sua inversa f-1: Y —→ X, sono continue. Le funzioni verificanti queste condizioni si dicono omeomorfismi e hanno un ruolo essenziale in topologia.

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