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costruzióne (geometria)

serie di operazione per rappresentare graficamente un'entità geometrica. Ogni costruzione che si possa eseguire unicamente per mezzo della riga e del compasso è una costruzione geometrica elementare. Le costruzioni fondamentali che si possono effettuare con questi strumenti sono: tracciare la retta per due punti distinti; tracciare la circonferenza di centro e raggio dati. Un problema si dice risolubile elementarmente (o con la riga e il compasso) quando per la sua costruzione sono sufficienti l'uso della riga e del compasso. Le costruzioni che possono essere eseguite con il solo compasso sono oggetto della cosiddetta geometria del compasso. Alcune notevoli costruzioni con riga e compasso sono: A) la costruzione dell'asse di un segmento AB dato "La figura 1 è a pag. 356 del 7° volume." , "Per la figura 1 vedi il lemma del 7° volume." cioè la perpendicolare nel suo punto medio, per cui si tracciano con il compasso due circonferenze di raggio uguale fra loro che si intersecano in due punti M e N; si traccia con la riga la retta passante per M e N; questa retta è l'asse del segmento AB; essa è infatti perpendicolare al segmento e il suo punto C di intersezione con il segmento è punto medio del segmento. Notiamo che questo procedimento ci permette di determinare il punto medio di un segmento. B) Il tracciamento di una retta s passante per un punto P dato e perpendicolare a una retta r data non passante per P "La figura 2 è a pag. 356 del 7° volume." o passante per P "La figura 3 è a pag. 356 del 7° volume." si ottiene tracciando con il compasso una circonferenza di centro P intersecante la retta r nei punti A e B. L'asse del segmento AB passa per il punto P ed è quindi la retta s cercata. C) Il tracciamento di una retta s passante per un punto P dato e parallela a una retta r data, si può ottenere in due modi; primo metodo "La figura 4a è a pag. 356 del 7° volume." : si traccia, con il metodo appena descritto, la perpendicolare p condotta da P a r; si traccia poi, sempre con il metodo descritto, la perpendicolare a p passante per P; quest'ultima è la retta s cercata; secondo metodo "La figura 4b è a pag. 356 del 7° volume." : si fissa un punto A sulla retta r; si traccia la circonferenza di centro A passante per P; sia B uno dei due punti di intersezione di questa circonferenza con la retta r. Si tracciano le due circonferenze passanti per A di centro P e B rispettivamente. Queste due circonferenze si intersecano, oltre che in A, in un punto C. Si traccia la retta passante per P e C; questa retta è parallela alla retta r poiché il quadrilatero ABCP è un rombo. D) La bisezione di un angolo, cioè la divisione di un angolo in due angoli uguali, si ottiene "La figura 5 è a pag. 356 del 7° volume." tracciando, con centro nel suo vertice O, un qualsiasi arco di circonferenza che intersechi i lati a e b dell'angolo in due punti A e B; si traccia poi, con il metodo spiegato in A), l'asse del segmento AB; esso è la bisettrice cercata dell'angolo dato. E) Il tracciamento delle rette passanti per un punto P dato e tangenti a una circonferenza data si ottiene nel seguente modo "La figura 6 è a pag. 356 del 7° volume." : si determina, con il procedimento descritto in A), il punto medio del segmento avente come estremi il punto P e il centro O della circonferenza; si traccia poi la circonferenza di centro M passante per O e si determinano i suoi punti di intersezione con la circonferenza data in partenza. Le rette passanti per P e, rispettivamente, per A e B sono le tangenti cercate. Altre costruzioni geometriche elementari possono essere realizzate servendosi di quelle descritte. Per esempio, dato un triangolo di vertici A,B,C, si può costruire la circonferenza a esso circoscritta, cioè la circonferenza passante per A,B,C, nel modo seguente "La figura 7 è a pag. 356 del 7° volume." : si determinano gli assi segmenti di vertici A,B e B,C rispettivamente; il punto O di intersezione dei due assi è equidistante dai punti A,B,C; si traccia quindi la circonferenza di centro O passante per A,B,C. In modo analogo si può determinare il centro di una circonferenza data: "Per la figura 5b vedi il lemma del 7° volume." prese due corde qualsiasi, il centro è l'intersezione degli assi. Anche il seguente problema può essere risolto elementarmente: inscrivere in una circonferenza poligoni regolari aventi numero dei lati uguali a una potenza di due. Infatti mediante due diametri perpendicolari, una circonferenza è divisa in quattro archi uguali. Bisecando gli angoli al centro corrispondenti a questi archi, si ottengono otto archi uguali e così via. Quindi si può dividere la circonferenza in 4, 8, 16, 32, ..., parti uguali. Ne deriva che, con riga e compasso, si può risolvere anche questo problema: inscrivere in una circonferenza poligoni regolari il cui numero di lati sia una potenza di due. Si può anche circoscrivere a una circonferenza data poligoni regolari il cui numero di lati sia una potenza di due. Basta infatti, per ognuno dei punti determinati in precedenza, tracciare la retta perpendicolare alla retta passante per esso e per il centro della circonferenza. In questo modo si può, per esempio, inscrivere e circoscrivere un quadrato a una circonferenza data "La figura 8 è a pag. 356 del 7° volume." . Per inscrivere un esagono regolare in una circonferenza data di centro O, si traccia "La figura 9 è a pag. 356 del 7° volume." un diametro della circonferenza. Siano A e B i suoi punti di intersezione con la circonferenza. Si traccia la circonferenza di centro A passante per O. Siano C e D i suoi punti di intersezione con la circonferenza di partenza. Si traccia in modo analogo una circonferenza di centro B e si determinano i punti E e F della circonferenza di partenza. I punti A,D,F,B,E,C dividono la circonferenza in sei archi uguali. Bisecando gli angoli al centro corrispondenti ai sei archi si suddivide la circonferenza in 12 archi uguali e così via. I punti A,F,E dividono poi la circonferenza in 3 archi uguali. Quindi si può suddividere la circonferenza in 3, 6, 12, 24, ..., archi uguali. Si può quindi inscrivere o circoscrivere a una circonferenza un poligono regolare avente un numero di lati uguale a una qualsiasi potenza di 2 moltiplicata per 3 "La figura 10 è a pag. 356 del 7° volume." come nel caso di un triangolo inscritto e un triangolo circoscritto a una circonferenza data. In generale si può dimostrare che anche il seguente problema è risolubile elementarmente: inscrivere in una circonferenza, o circoscrivere a essa, poligoni regolari il cui numero di lati sia una potenza di due moltiplicata per numeri primi distinti del tipo 2+1. Non si possono invece eseguire con riga e compasso le seguenti costruzioni classiche: tracciare un segmento di lunghezza π (rettificazione della circonferenza); trovare un quadrato di area πρ² (quadratura del cerchio), dividere un angolo in tre parti uguali (trisezione dell'angolo); dato un cubo trovare un cubo di volume doppio (duplicazione del cubo).