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geometrìa

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Definizione

Sf. [sec. XIII; dal greco geōmetría, propr. misurazione della terra]. Parte della matematica che studia le figure dei corpi; in modo più rigoroso è detta geometria lo studio delle proprietà delle figure che non mutano per effetto di un gruppo di trasformazioni la cui definizione caratterizza la geometria stessa. In senso tecnico il termine è usato per indicare la disposizione degli elementi di un apparecchio, o di un dispositivo, o di un impianto.

Cenni storici: dalle origini a Eudosso di Cnido

Secondo fonti concordanti, la geometria nacque in Egitto per l'esigenza di poter restituire agli agricoltori un campo equivalente a quello posseduto prima delle inondazioni del fiume Nilo. A Talete di Mileto va il merito di aver portato, intorno al 600 a. C., la geometria egiziana in Grecia, dove raggiunse grande perfezione. Con Pitagora e i suoi discepoli ha inizio una notevole trasformazione della geometria. Prima di Pitagora, infatti, non si era capito che la dimostrazione di un'affermazione scaturisce da alcune ipotesi; inoltre, secondo la tradizione, Pitagora fu il primo europeo a sostenere che in geometria i postulati precedono una teoria e che i teoremi sono una conseguenza più o meno diretta dei postulati stessi (geometria razionale). Il contributo più interessante che i pitagorici diedero al successivo sviluppo della geometria fu la scoperta di grandezze fra loro incommensurabili, cioè di grandezze che, pur essendo della stessa specie, non hanno sottomultipli comuni. La prima coppia di grandezze incommensurabili trovata fu quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Questo fatto portò a una modificazione nella concezione degli enti geometrici. Inizialmente infatti i pitagorici consideravano il punto come una particella materiale, ma indivisibile, chiamata monade; la retta era un allineamento di un numero finito di queste monadi. Come conseguenza, due segmenti avrebbero dovuto essere sempre commensurabili, in quanto un punto-monade avrebbe dovuto essere un'unità di misura per i due segmenti; ma ciò era in contrasto con la scoperta di grandezze incommensurabili. Tale fatto, mentre da un lato sconcertò enormemente i pitagorici, dall'altro determinò un passo avanti nella concezione razionale della geometria. Il punto cominciò a essere concepito come un ente privo di dimensioni, cioè come un ente astratto. La geometria acquistava, dunque, quella caratteristica che ancora oggi possiede: i punti sono privi di dimensioni, le linee prive di larghezza, le superfici prive di spessore. A questa nuova concezione della geometria contribuì anche Zenone. La concezione monadica dei pitagorici, infatti, conduceva ad alcuni paradossi, tipico e più famoso quello di Achille e la tartaruga, cui Zenone diede una forma matematica rigorosa. Da questo momento la geometria ebbe un enorme sviluppo. Basti ricordare il contributo di Eudosso di Cnido che riuscì a risolvere problemi in cui interviene il concetto di infinito. Si pensi ai seguenti problemi: trovare la lunghezza di un arco di curva, l'area di una porzione di superficie non piana, il volume compreso fra due superfici. Eudosso per primo trovò un metodo per giustificare razionalmente i risultati (il metodo di esaustione), nel quale si intravedono alcune intuizioni della matematica moderna.

Cenni storici: da Euclide al Medioevo

Gli studi di geometria procedettero, tuttavia, in modo disorganico fino al 300 a. C. circa, quando Euclide nei 13 libri degli Elementi sistemò tutte le nozioni precedentemente acquisite secondo un metodo rigorosamente deduttivo, alla cui base sono alcune proprietà iniziali sulle quali vengono costruite tutte le altre. Euclide, dopo aver definito gli enti della geometria piana, enunciò cinque postulati, che sono le prime e più semplici proprietà fra gli enti definiti, e nove nozioni comuni, così dette perché valide per ogni scienza. Dei cinque postulati. ha grande interesse il quinto, conosciuto anche come il postulato delle parallele: esso afferma che due rette del piano le quali, tagliate da una trasversale, formino da una stessa parte angoli la cui somma sia minore di due angoli retti, prolungate da quella parte si incontrano; da questo postulato segue l'unicità della parallela per un punto a una retta data; come ulteriore conseguenza si ha che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (180°). Negli Elementi questo postulato viene usato molto tardi e precisamente per dimostrare che una trasversale che incontra due rette parallele forma angoli alterni e angoli corrispondenti uguali e angoli coniugati supplementari. Molto probabilmente Euclide ritenne che questo postulato si sarebbe potuto dimostrare come conseguenza degli altri quattro e così pure altri matematici posteriori, che invano cercarono di dimostrarne la dipendenza dai rimanenti. Nel periodo post-euclideo, la geometria tese a occuparsi di problemi superiori, problemi cioè che non riguardassero soltanto lo studio delle figure piane e solide e dell'aritmetica. Archimede (287-212 a. C.), s'interessò al problema delle aree e dei volumi, pervenendo alla scoperta del volume e della superficie della sfera. Uno dei suoi risultati più importanti fu l'ottima approssimazione del rapporto π tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro, a cui pervenne attraverso metodi simili a quelli dai quali è sorta l'analisi infinitesimale. Di poco posteriore ad Archimede, Apollonio di Perge (ca. 262-180 a. C.) per primo ottenne le tre coniche (ellisse, iperbole e parabola) come sezioni di un cono rotondo con un piano. Da questo importante risultato, che evidenziò come si possa passare da una conica all'altra rotando opportunamente il piano secante, presero avvio gli studi di geometria proiettiva, sviluppata agli inizi del sec. XIX a opera principalmente di G. Monge e J. V. Poncelet. Con Euclide, Archimede e Apollonio la geometria si presentava nel suo complesso perfetta, come un tutto organicamente sistemato. Gli Arabi contribuirono a diffondere questa geometria, facendone traduzioni, ma non apportarono contributi di rilievo. E contributi determinanti non si ebbero nemmeno nel Medioevo.

Cenni storici: da Cartesio a Poncelet

Solo nella prima metà del sec. XVII si ebbe una svolta decisiva nella geometria, a opera principalmente di Cartesio e P. Fermat, che iniziarono il metodo analitico, cioè la trattazione dei problemi geometrici con l'ausilio dell'algebra e dell'analisi. La peculiarità di questo metodo consiste nel sostituire a ogni segmento la sua misura e nel caratterizzare i punti con numeri (misure di segmenti) loro coordinati. In tal modo i problemi geometrici vengono impostati algebricamente, traducendo ognuno di essi in un sistema di equazioni. Verso la fine del sec. XVIII ripresero vigorosamente in Francia gli studi sui metodi sintetici della geometria attraverso i quali Monge elaborò i fondamenti della geometria descrittiva, cioè la rappresentazione di figure dello spazio tridimensionale mediante figure piane. Continuatore dell'opera di Monge fu principalmente Poncelet, autore del primo trattato di geometria proiettiva. In questo compaiono alcuni principi: A) il principio di continuità, che afferma che se una figura può ottenersi da un'altra per variazione continua ed è altrettanto generale della prima, ogni proprietà vera per la prima figura è vera anche per la seconda. È in base a tale principio che Poncelet pervenne all'introduzione di elementi ideali all'infinito (per esempio il punto comune a due rette parallele, cioè la loro direzione). B) Il principio di dualità, che sostanzialmente permette di dedurre da un teorema un altro, operando con certe leggi che, per esempio, nel piano proiettivo, consistono nel sostituire la parola “punto” con la parola “retta”, “contenere” con “esser contenuto”, “intersezione” con “unione” e che sono fondate sulla simmetria di tali espressioni nei postulati. A Poncelet si deve, inoltre, il largo uso delle proiezioni come metodo per dedurre proprietà di figure complesse da figure più semplici. In tal modo si verifica che, operando con proiezioni, alcune proprietà restano invariate e altre no. Oggetto della geometria proiettiva divenne, appunto, lo studio di quelle proprietà che si conservano per operazioni di proiezione e vengono perciò chiamate proprietà proiettive.

Cenni storici: Ottocento e Novecento

Il sec. XIX segnò una profonda crisi della geometria in quanto con i risultati conseguiti da K. F. Gauss, J. Bolyai e N. I. Lobačevskij, ci si convinse che il quinto postulato di Euclide era indipendente dagli altri e che pertanto era possibile costruire nuove geometrie, le geometrie non-euclidee, nelle quali il quinto postulato non risulyava valido. La geometria classica, cioè quella euclidea, si basava su postulati considerati evidenti e desunti dall'osservazione della realtà di uno spazio geometrico assoluto e unico. A una tale impostazione aveva contribuito anche una bimillenaria teorizzazione filosofica, da Platone a I. Kant. Platone assolutizzava la geometria ordinaria, trasformandone le configurazioni in forme immutabili (idealismo oggettivo); anche Kant la assolutizzava, ma in maniera diversa, asserendo che lo spazio euclideo era la forma della nostra sensibilità (idealismo soggettivo). I matematici dei secoli precedenti non avevano sottoposto a critica questo tipo di impostazione, che però, proprio per la scoperta delle geometrie non-euclidee, diventò insufficiente; si fece così strada la convinzione che la scelta dei postulati potesse, sotto certe condizioni, essere libera. Da questa crisi nacque la concezione moderna della geometria come sistema ipotetico-deduttivo: le proposizioni iniziali, i postulati, vengono enunciate semplicemente come ipotesi che servono per sviluppare la trattazione successiva; l'unica condizione cui sono soggetti i postulati è che essi non siano contraddittori. In tal modo gli enti stessi della geometria vengono considerati in un modo nuovo, diverso da quello della geometria euclidea. Inoltre, si rinuncia a dare a essi una definizione esplicita, in quanto vengono solo definiti implicitamente dai postulati stessi; ciò che conta sono le mutue relazioni tra gli enti, non gli enti stessi, e quindi di una geometria vi possono essere diversi modelli. Da una tale interpretazione si ebbe, come hanno osservato vari matematici, la morte della geometria e la nascita delle geometrie, in quanto, negando alcuni postulati della geometria euclidea o di quella proiettiva, si ottengono dei sistemi teorici logicamente compatibili che si continuano a chiamare geometrie.

Geometria euclidea: concetti base

Gli enti fondamentali, assunti come non definiti, della geometria euclidea (o elementare o metrica) sono il punto, la retta e il piano. Devono poi essere validi i seguenti assiomi che, secondo D. Hilbert, si possono suddividere in cinque gruppi: assiomi di collegamento, così detti proprio perché collegano fra loro quegli enti fondamentali (per esempio, per due punti distinti passa una e una sola retta); assiomi di ordinamento, che rendono possibile l'ordinamento dei punti su una retta, in un piano e nello spazio; assiomi di congruenza, che servono per definire il concetto di movimento e quello di sovrapponibilità; assioma delle parallele, cioè il quinto postulato di Euclide, che si può enunciare così: per un punto P, non appartenente a una retta r, passa una e una sola retta parallela alla r. Si definiscono parallele due rette quando giacciono in uno stesso piano e non hanno punti in comune; assiomi di continuità, tra cui il postulato di Eudosso-Archimede: dati due segmenti esiste un multiplo intero dell'uno che è maggiore dell'altro.

Geometria euclidea piana

La geometria euclidea si suddivide in geometria piana e in geometria solida. Quella piana studia le proprietà delle figure del piano. Si introducono così i concetti di segmento, come parte di una retta racchiusa tra due punti distinti; di semiretta, di angolo, che servono poi per studiare le proprietà dei triangoli e più in generale dei poligoni, specialmente quelli regolari. Si introduce poi il concetto fondamentale di congruenza (spesso nei trattati si parla di uguaglianza) tra le figure. Una volta definita la congruenza tra i segmenti e gli angoli, per cui due segmenti, o angoli, sono congruenti se esiste un movimento del piano che porti un segmento, o angolo, a sovrapporsi all'altro, si passa a definire la congruenza tra i poligoni, per cui due poligoni sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti lati e angoli interni. Notevoli a tal proposito sono i criteri di congruenza dei triangoli, che permettono di decidere quando due triangoli sono congruenti una volta note alcune congruenze (per esempio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo compreso). Oltre i triangoli, tra cui principalmente studiati sono quelli rettangoli (un angolo retto), isosceli (due lati congruenti), equilateri (tutti e tre i lati congruenti), sono studiati particolarmente i poligoni regolari, cioè quei poligoni che hanno tutti i lati e gli angoli interni congruenti fra loro. Poligoni non regolari studiati sono il rettangolo (quattro angoli retti), il parallelogramma (lati a due a due paralleli), il rombo (parallelogramma con i lati congruenti fra loro), il trapezio (quadrilatero con due lati paralleli), ecc. Altro concetto fondamentale della geometria euclidea è quello di similitudine. Una similitudine è una trasformazione del piano che conserva la congruenza tra angoli e trasforma segmenti conservando la proporzionalità. Due figure si dicono simili se esiste una similitudine che trasformi l'una nell'altra. La similitudine tra figure, che è una relazione di equivalenza fra esse, è applicata in particolar modo ai triangoli, per i quali esistono diversi criteri di similitudine.

Geometria euclidea solida

La geometria euclidea solida studia le proprietà delle figure dello spazio. Suoi concetti fondamentali sono il parallelismo tra rette e piani e tra piani, la perpendicolarità tra rette e piani e tra piani. Si introduce quindi il concetto di angoloide come porzione di spazio racchiusa dagli angoli formati da n≥3 semirette uscenti da uno stesso punto; per n=3 si hanno i triedri. Si dà, quindi, la definizione di poliedro convesso come porzione di spazio racchiusa da poligoni aventi i lati a due a due in comune. Esempi di poliedri sono il prisma, la piramide, il cubo, il parallelepipedo, ecc. Vengono anche studiati i solidi di rotazione, cioè quelle figure solide ottenute facendo ruotare intorno a una retta fissa (asse di rotazione), una figura piana. Esempi sono il cono circolare, ottenuto facendo ruotare un triangolo intorno a un suo lato; il cilindro, ottenuto per rotazione di un rettangolo intorno a un suo lato; la sfera, ottenuta facendo ruotare una semicirconferenza intorno al suo diametro. Argomento della geometria euclidea è anche la teoria dell'equivalenza.

Geometrie non-euclidee: concetti base

Intorno al 1830 Bolyai e Lobačevskij affermarono che il postulato delle parallele non era conseguenza degli altri postulati della geometria euclidea e pertanto proponevano altri tipi di geometrie. Per costruire queste geometrie bisognava dare nuove interpretazioni ai concetti di punto, retta, giace su, ecc., tali che restassero veri gli assiomi di collegamento, ma non il postulato delle parallele. Un'interpretazione dei concetti primitivi che, verificando le premesse, verifica anche le conclusioni si chiama modello. Illustriamo quanto ora detto con un esempio: il modello di Klein. Nel piano ordinario si fissi una circonferenza C. Si definisca punto ogni punto interno a C; retta ogni corda di C (estremi esclusi); un punto è incidente rispetto a una retta se tale incidenza è verificata nel piano. In tal modo non è verificato il postulato delle parallele in quanto da un punto è possibile condurre almeno due rette parallele a una retta data, conducendo da un punto due corde non intersecanti una corda fissata.

Geometrie non-euclidee: classificazione

Le geometrie non-euclidee possono dividersi in due tipi: geometria iperbolica, o di Lobačevskij, nella quale il postulato di Euclide è sostituito dall'affermazione che da un punto escono due rette parallele a una retta data; geometria ellittica, o di Riemann, nella quale si richiede che non esistano rette parallele. Come caso limite, si ha la geometria parabolica, che è la geometria euclidea. Le geometrie non-euclidee rientrano nella classificazione delle geometrie come sistemi ipotetico-deduttivi, cioè come sistemi teorici alla base dei quali sono alcuni postulati, i quali sono semplicemente delle ipotesi che servono per sviluppare la trattazione successiva. L'unica condizione cui sono soggetti i postulati è che essi non siano contraddittori. Si ha in tal modo la seguente classificazione: geometria non-archimedea, nella quale non vale il postulato di Eudosso-Archimede; quindi dati due segmenti può non esistere un multiplo intero del più piccolo che sia maggiore del più grande; geometria non-desarguesiana (o non-arguesiana), in cui non vale il teorema di Desargues dei triangoli omologici. Si tratta di una geometria proiettiva piana, dato che nello spazio il suddetto teorema è conseguenza dei postulati; geometria non-pascaliana, nella quale non vale il teorema elaborato da Pappo e Pascal; geometria non-pitagorica, nella quale valgono tutti i postulati della geometria euclidea a eccezione di quello di continuità; in questa geometria non vale il teorema di Pitagora; geometrie finite, nelle quali non si richiede che su ogni retta ci siano infiniti punti (non valgono, perciò, gli assiomi di ordinamento). Sono particolarmente studiati i piani proiettivi finiti, desarguesiani, per i quali è ancora aperto il problema della classificazione. Si sono avute diverse generalizzazioni delle geometrie finite, pervenendo alla costruzione di strutture d'incidenza finite, tra le quali i disegni a blocchi (in inglese, block designs), che trovano applicazioni nella matematica applicata, per esempio in statistica.

Geometrie: classificazione secondo Klein (programma di Erlangen)

Si consideri una figura dello spazio: le sue proprietà (per esempio un quadrato ha le diagonali perpendicolari, i lati tutti congruenti, ecc.) si conservano se la figura viene assoggettata a quelle trasformazioni dello spazio che sono i movimenti e le similitudini; non si conservano invece per proiezione parallela (per esempio l'ombra di un quadrato non è un quadrato) o per proiezione centrale. Diremo che una geometria dello spazio S, per esempio dello spazio ordinario, è lo studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni che queste figure subiscono per effetto degli elementi di un dato gruppo G di trasformazioni di S, detto gruppo fondamentale della geometria. Si hanno i seguenti tipi di geometria: geometria proiettiva, studio delle proprietà invarianti rispetto alle omografie, che sono trasformazioni (del piano, dello spazio o di un iperspazio) che conservano gli allineamenti, cioè trasformano tre punti allineati in tre punti ancora allineati. Concetto fondamentale della geometria proiettiva è il birapporto di quattro punti; geometria affine, studio delle proprietà invarianti rispetto alle affinità, che sono omografie che mutano in sé una prefissata retta, piano o iperpiano (retta, piano o iperpiano improprio) secondo che ci si metta in un piano, spazio o iperspazio. Sono concetti della geometria affine il parallelismo, il punto medio di un segmento, il baricentro geometrico, ecc.; geometria algebrica, studio delle proprietà invarianti rispetto alle trasformazioni birazionali, dove una trasformazione di un piano, di uno spazio, di una varietà proiettiva, è birazionale quando è razionale insieme alla sua inversa. Le più importanti fra le dette proprietà sono le seguenti: A) trasformazioni birazionali applicate a una curva algebrica la trasformano in una curva che è ancora algebrica; B) due curve fra i cui punti interceda una corrispondenza birazionale hanno lo stesso genere, cioè il genere è una proprietà invariante per trasformazioni birazionali. La geometria algebrica, come la geometria proiettiva, la geometria elementare, ecc., si suddivide in una geometria reale e in una geometria complessa a seconda che le trasformazioni birazionali siano reali o complesse; si ha, infine, la topologia, studio delle proprietà invarianti per trasformazioni biunivoche e bicontinue.

Altre geometrie

Altri tipi di geometrie che non rientrano nella classificazione di Klein costituiscono dei metodi permettono di trattare i problemi geometrici in maniera più fruttuosa. Tra di esse, le più importanti sono la geometria analitica, quelladescrittivae quellaanalitica. La geometria analitica tratta i problemi geometrici usando i metodi dell'algebra e dell'analisi. Un primo passo necessario per la fondazione di questa geometria è l'introduzione delle coordinate. A ogni punto di una retta, del piano o dello spazio si fa corrispondere, in modo unico, un numero reale o complesso, una coppia di numeri o una terna di numeri. Questo fatto permette di tradurre ogni problema geometrico in un sistema di equazioni. Invece di considerare terne di numeri, si possono considerare in generale n-ple di numeri reali, le quali si possono assumere come punti di uno spazio, indicato con il simbolo Rn, che costituisce quello che si chiama lo spazio numerico reale a n dimensioni. In questo spazio, una volta definiti le rette, i piani, in generale i sottospazi, come sottoinsiemi di punti soddisfacenti certe equazioni o sistemi di equazioni, si possono introdurre i concetti di segmento, angolo, perpendicolarità, ecc. e sviluppare una geometria con questi concetti, come si fa nella geometria euclidea (vedi anche geometria analitica). La geometria descrittiva consente di rappresentare le figure spaziali in figure di un piano e di elaborare metodi che permettono di ricostruire esattamente le proprietà delle figure spaziali rappresentate. Vi sono diversi tipi di proiezioni di figure spaziali su un piano; fra gli altri hanno interesse la proiezione centrale, la doppia proiezione, la proiezione quotata. La proiezione centrale consiste nel proiettare punti dello spazio in punti di un piano prefissato (quadro), da un punto fisso e al finito 0, detto centro di proiezione. L'immagine di un punto P si ottiene come intersezione della retta 0P con il quadro. La doppia proiezione consiste nell'impiegare due differenti proiezioni su due quadri. Come caso particolare, i due piani possono essere fra loro perpendicolari (ed è questo il caso più noto); le immagini si chiamano in tal caso pianta e alzata. La proiezione quotata è anch'essa un metodo di doppia proiezione, che consiste nel segnare nella pianta l'altezza del punto che si vuole proiettare. I punti di uguale altezza vengono congiunti da curve dette di livello. La geometria differenziale tratta delle situazioni geometriche usando metodi dell'analisi infinitesimale, quindi studia le curve e le superfici dello spazio tridimensionale. La teoria delle curve, dal punto di vista di questa geometria, inizia dalla definizione del concetto di arco, o di segmento di curva, come immagine biunivoca e continua di un intervallo chiuso a≤t≤b dell'asse reale; lo studio locale delle proprietà della curva (tangente, curvatura, ecc.) è quindi ricondotto allo studio di archi. Analogamente la teoria delle superfici inizia dal concetto di calotta, o porzione di superficie, che è l'immagine biunivoca e bicontinua di un dominio chiuso e li mitato del piano xy; lo studio locale delle proprietà delle superfici (curvatura, linee geodetiche, ecc.) in questa geometria è ricondotto allo studio delle calotte (vedi anche geometria differenziale).

Bibliografia

N. Lobačevskij, Nuovi principi della geometria, Torino, 1955; M. Baldassari, Algebraic Varieties, Berlino, 1956; M. G. Galli, Spazio e tempo nella scienza moderna. La geometria non euclidea, Roma, 1956; L. Lombardo-Radice, Piani grafici finiti non desarguesiani, Palermo, 1959; E. Artin, Algebra geometrica, Milano, 1963; I. M. Jaglom, L. I. Golovina, L'induzione in geometria, Milano, 1966; F. Ayres jr., Projective Geometry, New York-St. Louis, 1967; D. Hilbert, S. Cohn-Voessen, Geometria intuitiva, Torino, 1967; D. Hilbert, Fondamenti della geometria, Milano, 1970; N. Efimov, Elementi di geometria analitica, Roma, 1975; M. Bruni, Complementi di geometria, Milano, 1988.