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geometrìa analìtica

metodo matematico per lo studio delle proprietà della retta , del piano, in generale dello spazio mediante l'introduzione di coordinate, per cui essa permette di tradurre problemi geometrici in problemi di algebra o di analisi matematica. I suoi fondatori si possono considerare Cartesio e P. de Fermat, ai quali si deve l'idea principale di porre in corrispondenza biunivoca i punti del piano e dello spazio con le coppie o, rispettivamente, le terne ordinate di numeri reali, che si dicono le coordinate del punto del piano o, rispettivamente, dello spazio. La geometria analitica rivela tutta la sua potenza soprattutto nello studio delle curve e delle superfici. Per esempio, una circonferenza nel piano è definita come il luogo dei punti che sono equidistanti da un punto fisso, O, detto centro della circonferenza; allora, se diciamo P il punto variabile della circonferenza, e r la distanza fissa, abbiamo, per il teorema di Pitagora,

da cui se le coordinate (cartesiane ortogonali) di O sono (0, 0) e quelle di P sono (x, y), abbiamo x²+y²=r², che è l'equazione della circonferenza con centro nell'origine delle coordinate e raggio r. Un esempio analogo può farsi nello spazio, ottenendo l'equazione di una superficie sferica con centro nell'origine e raggio r: x²+y²+z²=r². Da questi esempi si può in generale desumere che una curva del piano è il luogo dei punti che con le loro coordinate soddisfano a una equazione del tipo: f(x, y)=0; una superficie dello spazio è il luogo dei punti che con le loro coordinate soddisfano a un'equazione del tipo: f(x, y, z)=0. Si vede così che le proprietà geometriche di una curva si traducono in altrettante proprietà analitiche. Infatti, per esempio, se vogliamo studiare una curva, cioè se vogliamo determinare la natura dei suoi punti e tracciare il grafico della curva stessa, basta a tal fine studiare la sua espressione analitica, cioè la funzione f(x, y) che uguagliata a zero dà l'equazione della curva (si vedano le voci geometria e coordinata).

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