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Erlangen, programma di-

classificazione delle geometrie, basata sul concetto di gruppo, esposto da F. Klein nella lezione inaugurale nel 1872 all'Università di Erlangen, e pubblicato nel 1893. Una geometria, collegata a un certo gruppo G di trasformazioni di un insieme F di figure del piano o dello spazio, è lo studio delle proprietà delle figure di F che sono invarianti rispetto alle trasformazioni che esse subiscono per effetto degli elementi di G. Così, per esempio, al gruppo delle trasformazioni che conservano le distanze (isometrie) è collegata la geometria euclidea; al gruppo delle trasformazioni affini è collegata la geometria affine; al gruppo delle trasformazioni proiettive è collegata la geometria proiettiva. Poiché il gruppo delle isometrie è contenuto nel gruppo delle trasformazioni affini, le proprietà studiate dalla geometria affine sono proprietà della geometria euclidea. Il gruppo delle trasformazioni affini è a sua volta contenuto nel gruppo delle trasformazioni proiettive; le proprietà studiate dalla geometria proiettiva sono quindi proprietà della geometria affine. F. Klein ha dimostrato che, partendo dal gruppo delle trasformazioni proiettive che conservano una particolare conica, si perviene alla geometria iperbolica, o di Lobačevskij, una delle geometrie non euclidee. L'altra geometria non euclidea, quella riemaniana, non rientra invece nel programma di Erlangen.

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