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astrazióne (matematica)

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Matematica

Sono esempi di astrazione matematica il procedimento di definizione di numero naturale cardinale e l'introduzione del concetto di punto all'infinito di una retta. Nel primo caso, un determinato numero rappresenta l'insieme (o classe) delle collezioni di oggetti che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli oggetti di una qualsiasi delle collezioni date; per esempio, se una di queste collezioni è costituita dalle mani di un uomo, è definito come numero 2 la classe di tutte le collezioni di oggetti che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con le mani stesse (vedi anche numero). Nel secondo caso, il punto all'infinito di una retta rappresenta ciò che hanno in comune tutte le rette che sono parallele alla retta data, cioè la direzione. In entrambi gli esempi si ha perfetta equivalenza tra gli elementi di ciascuna delle due classi descritte e si è introdotto un nuovo ente (numero, punto all'infinito) che rappresenta ciò che è comune a tutti gli elementi della classe considerata; questo qualcosa di comune, che definisce la classe, è detto astratto della classe. Si può pertanto concepire l'astrazione come entificazione di classi di equivalenza ed entificazione di proprietà. In modo più rigoroso si può definire l'astrazione nei termini della logica matematica: si dice che un certo dominio Dr, costituito dalle classi C(x), C(y), C(z), ..., viene ottenuto con una definizione per astrazione da un dominio D, quando per i suoi elementi x, y, z, ... viene stabilita una relazione R, riflessiva, simmetrica e transitiva che classifica in modo completo questi elementi, così che una classe C(x) è determinata in modo univoco da ognuno dei suoi elementi x; dati due elementi x e y e data la relazione xRy, allora le rispettive classi sono uguali: C(x)=C(y); date due classi C(x) e C(y), o sono identiche o non hanno alcun elemento in comune. § Si parla di astrazione anche nel senso di definizione assiomatica, cioè di definizione di enti attraverso loro relazioni formali, contenute in assiomi.

Logica matematica

Operatore di astrazione, particolare operatore che consente di isolare in un dato enunciato la proprietà in esso contenuta. Assume nei vari autori nomi diversi: astrattore di classe in G. Frege, astrattore di funzione in B. Russel e in A. N. Whitehead, λ-operatore in A. Church. Per esemplificare, dato l'enunciato x>y, mediante l'operatore x possiamo formare il predicato x(x>y) che significa: “la proprietà di essere maggiore di y”. Espresso in termini di funzioni, l'operatore di astrazione permette di astrarre la funzione dai suoi argomenti. Per esempio, data l'espressione x² che designa il quadrato di x, mediante l'operatore di astrazione λ otteniamo λx(x²) che designa la funzione stessa di quadrato.