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classe (matematica)

termine usato spesso come sinonimo di insieme: in particolare nel caso in cui si considerino sottoinsiemi di un insieme di cui costituiscono una partizione, cioè nella partizione in classi di un insieme. Nella teoria assiomatica, si introduce invece una distinzione tra i termini classe e insieme, per superare le antinomie della teoria ingenua degli insiemi. Così, per esempio, si cade in contraddizioni se si considera come un insieme la classe totale (di Cantor), cioè la classe che ha per elementi tutti i possibili insiemi. La contraddizione cade, se la si considera come una classe che non è un insieme, cioè come una totalità di tipo superiore agli ordinari insiemi, non pensabile a sua volta come elemento costitutivo di una nuova totalità. § Come sinonimo di insieme, accezione predominante sino al 1925, la nozione di classe è stata impiegata da G. Boole nella sua algebra della logica, da G. Peano nei suoi Principi di aritmetica, da B. Russell e da altri ancora. Nell'altro senso, cioè di collezione che non può essere membro di nessun'altra collezione, la nozione di classe, introdotta da J. von Neumann nel 1925, è stata presentata in modo sistematico da P. Bernays e K. Gödel per dare un'assiomatizzazione della teoria degli insiemi che fosse esente da paradossi e nel contempo sufficientemente potente. § Il termine è usato con vari altri significati particolari: A) in geometria, classe di una curva algebrica piana è il numero delle tangenti che si possono condurre a essa da un punto generico del piano. Analogamente, classe di una curva algebrica sghemba è il numero di tangenti che si possono condurre alla proiezione della curva su un piano; classe di una superficie algebrica è il numero dei piani tangenti che si possono condurre a essa per una retta generica dello spazio. B) In analisi, classe di una funzione derivabile è l'indice della derivata diordine massimo; una funzione che possiede derivate di ordine qualunque ha pertanto classe infinita. C) Nel calcolo combinatorio, classe di una combinazione o classe di una disposizione è il numero degli elementi che compongono le singole combinazioni o disposizioni; una permutazione è detta invece di classe pari o di classe dispari a seconda che sia pari o dispari il numero delle sostituzioni rispetto alla fondamentale. D) Nella teoria dei numeri reali, due insiemi di numeri reali sono detti classi contigue quando ogni numero del primo insieme è minore o uguale a ogni numero del secondo e quando è possibile trovare due numeri, uno della seconda e uno della prima classe, tali che la loro differenza sia minore di un numero dato comunque piccolo. Tale definizione può essere estesa a classi di grandezze. E) In algebra moderna, sono dette classi di equivalenza i sottoinsiemi, costituiti da elementi tra loro equivalenti, di un insieme nel quale sia stato definito un criterio di equivalenza.