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esponenziale

agg. [sec. XVIII; da esponente]. In matematica, funzione esponenziale, funzione y=ax, dove a è fisso, reale e maggiore di zero e x è variabile reale. Se a>1 allora per x<x è ax1<ax2; quindi ax è crescente al crescere di x e precisamente tende all'infinito, per x tendente a + ∞, se invece x tende a – ∞ allora ax decresce indefinitamente conservandosi positiva (figura A). Se a = 1, allora ax = 1 per ogni x (figura B). Se 0 <a< 1 allora per x<x è ax1 >ax2 e quindi ax è decrescente per x tendente a + ∞; se invece x tende a – ∞ allora ax cresce indefinitamente (figura C). Due curve esponenziali ax e bx sono tra loro simmetriche rispetto all'asse delle y quando b = 1/a. § Con esponenziale si indica solitamente la funzione e dove e è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali. "Vedi disegno A vol. IX, pag. 170" . "Per la figura A vedi il lemma dell'8° volume." È una funzione derivabile infinite volte ed è = e, y‟ = e ecc.; è quindi continua insieme a tutte le sue derivate ed è sviluppabile in serie di Mac Laurin:

... la quale è una serie convergente ed è detta serie esponenziale. Nel campo complesso valgono le seguenti relazioni: A) e = cosx+i sinx (formula di Eulero) che si ottiene tenendo conto degli sviluppi di Mac Laurin delle funzioni sinx e cosx ; da qui si ha: B) e = e · e = e(cosy+i siny) "Vedi disegno B vol. IX, pag. 170" ; "Per la figura B vedi il lemma dell'8° volume." C) e- = cosx – i sinx "Per la figura C vedi il lemma dell'8° volume." "Vedi disegno C vol. IX, pag. 170" da cui:

Dalla B) si ottiene e+2π = e, cioè e nel campo complesso è una funzione periodica di periodo 2πi. Sempre per mezzo delle precedenti relazioni si giustifica la forma esponenziale di un numero complesso z di modulo ρ e anomalia α:

z = ρ(cosα + i sinα) = ρe

§ In generale, sono dette equazioni esponenziali le equazioni nelle quali l'incognita compare a esponente.

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