Questo sito contribuisce alla audience di

potènza (matematica)

prodotto di un numero (base) per se stesso tante volte quante sono indicate da un altro numero detto esponente dellapotenza. L'esponente è sempre un intero maggiore di 1, a meno che non si precisi il contrario. Il significato di esponenti interi negativi è dato dalla definizione: ; la definizione di potenza si completa ponendo a¹=a, a0=1; ,con m e n interi. Le precedenti formule sono tutte pienamente giustificate dalle seguenti proprietà delle potenze: a a=a, cioè il prodotto di due potenze della stessa base è una potenza della stessa base che ha come esponente la somma degli esponenti; a:a=a, cioè il quoziente di due potenze della stessa base è una potenza della stessa base che ha come esponente la differenza degli esponenti (di solito m>n, ma è anche possibile che sia m=n oppure m e allora si giustificano le definizioni viste sopra); (a)=a, cioè la potenza di una potenza è una potenza della stessa base che ha come esponente il prodotto degli esponenti. Utili per i calcoli sono anche le altre proprietà: a b=(a ∤ b), cioè il prodotto di due potenze dello stesso esponente è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente; a:b=(a:b), il cui significato è evidente. Per determinare la potenza di un numero complesso si applica il teorema di de Moivre. Formule notevolmente più complicate valgono quando l'esponente è un numero complesso. Le operazioni inverse dell'elevamento a potenza sono l'estrazione di radice, che si fa quando sono note la potenza e l'esponente e si vuole determinare la base, e la ricerca del logaritmo, che si fa quando sono note la potenza e la base e si vuol determinare l'esponente. § Per determinare la potenza n-esima di un binomio o di un polinomio si applica la formula

, dove la somma è estesa a tutte le partizioni di n in ν numeri α, β,..., λ interi positivi o nulli tali che α+β+...+λ=n. Come caso particolare si ha

che dà la potenza n-esima di un binomio. In algebra, è spesso sinonimo di cardinalità: si dirà pertanto che un insieme A ha la potenza del numerabile se i suoi elementi possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali; che ha la potenza del continuo se può essere posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri reali.