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operazióne (aritmètica)

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Generalità

Dato un insieme A, si dice che in A è definita un'operazione n-aria quando è definita una regola che permette di associare a n elementi a₁, a₂, ..., an, dati nell'ordine scritto, un nuovo elemento di A, loro composto nell'operazione; le operazioni che, a partire da elementi appartenenti a uno stesso insieme A, danno risultati appartenenti ancora a A sono operazioni interne; quelle che operano su elementi appartenenti a insiemi diversi e danno risultati appartenenti o no a uno degli insiemi di partenza, sono operazioni esterne. Un'altra classificazione delle operazioni può essere fatta in relazione al numero di elementi sui quali si opera: si hanno così operazioni unarie, o monadiche, binarie, o diadiche, ternarie, ecc. Le operazioni più usate sono quelle binarie, come l'addizione, la moltiplicazione (in gruppo, in un anello, in un campo), l'unione e l'intersezione in un reticolo. Nel caso di un'operazione binaria, per esempio nel caso dell'ordinaria addizione, il simbolo di operazione si colloca tra i due termini; si scrive cioè a+b, e non +(a, b), come sarebbe più corretto logicamente, perché viene messo in evidenza il carattere di operatore del simbolo “+”. Un'operazione o si dice univocamente invertibile quando, dati due elementi a e b l'equazione aox=b ammette un'unica soluzione x comunque si prendano a e b nel campo dell'operazione. Nel caso, per esempio, dell'addizione su numeri interi, tale operazione è univocamente invertibile; non lo è invece nel campo dei numeri naturali in quanto x=b-a può essere intero negativo, e quindi non naturale. Le più importanti proprietà delle operazioni binarie sono la proprietà associativa, la proprietà commutativa e la proprietà distributiva. Qui di seguito sono date le regole per l'esecuzione delle quattro operazioni elementari, con gli ordinari numeri decimali; per le operazioni elementari con numeri binari valgono regole perfettamente analoghe (vedi anchenumerazione).

Addizione

Per sommare due numeri interi di una cifra si aggiungono al primo tante unità quante sono quelle rappresentate dal secondo; se i numeri hanno più di una cifra è preferibile eseguire l'operazioni incolonnandoli e sommare tra loro i numeri che si trovano nella stessa colonna; si parte da quella più a destra e si procede verso sinistra scrivendo ai piedi di ogni colonna il risultato parziale ottenuto. Se questo è un numero maggiore di 9 si scrive solo la sua ultima cifra perché l'altra costituisce il riporto ed è da aggiungere alla colonna immediatamente a sinistra; se il riporto supera 99 le due prime cifre sono da aggiungere alle due colonne che si trovano a sinistra, ecc. Se gli addendi hanno anche la parte decimale, nel metterli in colonna si deve tener presente che le centinaia devono stare nella stessa colonna, e così pure le decine, le unità, i decimi, i centesimi, i millesimi e così via. Naturalmente, la stessa regola vale anche se si sommano numeri interi e vale anche per la sottrazione, mentre non è necessario applicarla per la moltiplicazione. Esempi (le cifre in alto indicano il riporto):

Sottrazione

Per sottrarre due numeri interi, con il minuendo maggiore del sottraendo, si tolgono dal primo tante unità quante sono quelle rappresentate dal secondo. Se i numeri hanno due o più cifre è preferibile metterli in colonna. Si inizia il calcolo dalle unità di ordine più basso; se le cifre del minuendo sono tutte maggiori o uguali a quelle del sottraendo il calcolo è immediato; se invece sono minori, per procedere, si tiene presente che nel sistema decimale le cifre della colonna che sta immediatamente a sinistra valgono dieci volte quelle della colonna in cui si sta operando; pertanto si diminuisce di 1 la cifra della colonna immediatamente a sinistra (e di questa diminuzione se ne terrà conto nel procedere del calcolo) e si aggiunge 10 alla cifra del minuendo della colonna in cui si sta operando. In questo modo l'operazione è possibile e si continua fino a che si esauriscono tutte le colonne. Esempi (le cifre in alto rappresentano il 10 aggiunto alla cifra del minuendo):

Moltiplicazione

Il prodotto di due numeri minori di 10 si esegue tenendo conto della tavola pitagorica (vedi anche Pitagora). Se uno solo dei due fattori è minore di 10, si moltiplica l'altro prima per la cifra delle unità del primo e si scrive solo l'ultima cifra di questo risultato parziale, tenendo presente che l'altra costituisce il riporto e va aggiunta al risultato ottenuto moltiplicando il secondo fattore per la cifra delle decine del primo. Il procedimento continua allo stesso modo se il primo fattore ha più di due cifre. Se si moltiplicano tra loro due numeri ciascuno dei quali è costituito da due o più cifre, è opportuno incolonnarli ed eseguire il prodotto di ogni cifra del secondo fattore per ogni cifra del primo, seguendo quanto detto sopra, e sommare i risultati parziali ottenuti. Si ricordi però che, quando si moltiplica la cifra delle decine del secondo per il primo, non si ottengono unità, ma decine, per cui, prima di incolonnare i risultati ci si sposta verso sinistra di una colonna e si procede; analogamente per le centinaia e così via. Se si moltiplicano numeri che hanno anche cifre decimali si ottiene il risultato con il procedimento visto sopra e il numero delle sue cifre decimali è uguale alla somma delle cifre decimali del primo con quelle del secondo. Esempi (nella prima moltiplicazione sopra al risultato sono indicati anche i riporti):

Divisione

Il quoziente di due numeri si ottiene calcolando quante volte il divisore è contenuto nel dividendo; si ha il resto quando il divisore non è contenuto esattamente nel dividendo. Se il dividendo è un numero di due o più cifre e il divisore è costituito di una sola cifra minore della prima cifra del dividendo, l'operazione viene eseguita per gradi: si comincia a scrivere quante volte il divisore è contenuto nella prima cifra del dividendo; se è contenuto un numero esatto di volte si passa a vedere quante volte è contenuto nella seconda cifra e questo valore costituisce la seconda cifra del risultato; in caso contrario si scrive il massimo numero che moltiplicato per il divisore è minore della prima cifra del dividendo e si scrive sotto questa il resto. Accanto a questo resto si trascrive la seconda cifra del dividendo e il numero così ottenuto viene nuovamente diviso per il divisore. L'operazione ha termine quando non ci sono più cifre da trascrivere; se alla fine si ha il resto, la divisione può continuare, mettendo la virgola se si dividono tra loro due numeri interi, aggiungendo uno zero al resto e scrivendo quante volte il divisore è contenuto nel numero che così si ottiene, e così via. Se anche il divisore ha più di una cifra si segue un procedimento analogo, tenendo presente che se il divisore qualche volta non è contenuto nei numeri che di volta in volta si considerano, si mette uno zero nel quoziente e si trascrive un'altra cifra del dividendo. Si tenga poi presente che, se si dividono tra loro due numeri e il divisore ha una parte decimale, applicando opportunamente la proprietà invariantiva, si fa in modo che il divisore diventi intero. Esempi:

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