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simmetrìa (geometrìa)

simmetria centrale o simmetria rispetto a un punto O, detto centro di simmetria, è la trasformazione che associa a ogni punto P il punto tale che il punto O sia il punto medio del segmento di estremi P e . "Vedi la figura 1 a pagina 210 del XX volume." "Per la figura 1 vedi il lemma del 18° volume." Il punto viene detto simmetrico di P rispetto a O. Il punto O è l'unico punto che ha come simmetrico se stesso. Quindi la simmetria rispetto a O ha come punto fisso il solo punto O. La simmetria centrale è una isometria. Simmetria assiale ortogonale o simmetria ortogonale rispetto a una retta r detta asse di simmetria, è la trasformazione che associa a ogni punto P il punto tale che il segmento di estremi P e abbia come asse la retta r. "Vedi la figura 2 a pagina 210 del XX volume." "Per la figura 2 vedi il lemma del 18° volume." È una isometria e ha come punti fissi i punti dell'asse di simmetria. Simmetria assiale obliqua o simmetria parallela a una retta s rispetto a una retta r (che non sia parallela alla retta s) è la trasformazione che associa a ogni punto P il punto in modo tale che il segmento di estremi P e sia parallelo alla retta s e abbia il punto medio sulla retta r. "Vedi la figura 3 a pagina 210 del XX volume." "Per la figura 3 vedi il lemma del 18° volume." Nel caso in cui la retta s sia perpendicolare alla retta r abbiamo di nuovo la simmetria ortogonale. Le simmetrie assiali oblique sono affinità e hanno come punti fissi i punti dell'asse di simmetria. Simmetria speculare o simmetria ortogonale rispetto ad un piano, detto piano di simmetria, è la trasformazione dello spazio che associa a ogni punto P il punto tale che il segmento di estremi P e abbia come asse il piano di simmetria; è una isometria dello spazio e ha come punti fissi i punti del piano di simmetria. Simmetria parallela a una retta r rispetto a un piano π (non parallelo a r) è la trasformazione dello spazio che associa a ogni punto P il punto tale che il segmento di estremi P e sia parallelo alla retta r e abbia il suo punto medio sul piano π. È una affinità e ha come punti fissi i punti del piano π. Tutte le simmetrie sono involutorie, cioè la composizione di ognuna di esse con se stessa è l'identità. In geometria proiettiva piana, la simmetria degli assiomi è una proprietà per cui scambiando tra di loro punti e rette nonché le operazioni di unione di due punti e intersezione di due rette, si associa al piano di partenza un nuovo piano duale. La medesima situazione si presenta in ogni teoria formalizzata in cui vi sia simmetria degli assiomi rispetto a qualche coppia di termini. Ciò accade nella teoria dei reticoli, nella quale si possono scambiare le operazioni di unione o di intersezione.

Bibliografia

M. Hammermesh, Group Theory and Its Application to Physical Problems, Reading (Mass.), 1964; P. B. Yale, Geometry and Simmetry, San Francisco, 1968; I. Bernal, W. C. Hamilton, J. Ricci, Simmetry, San Francisco, 1972; H. Weyl, La simmetria, Milano, 1981.