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frattale

agg. e sm. [dal latino fractus]. Termine introdotto nel 1975 dal matematico di origine polacca Benoît B. Mandelbrot per indicare enti geometrici di forma irregolare. Sono per esempio, frattali l'insieme di Cantor e la curva di Peano. Un altro esempio di frattale è la curva a “fiocco di neve” di van Koch . Per costruirla si consideri un triangolo equilatero avente i lati di lunghezza uguale a 1, ottenendo una prima figura. Si divida, poi, ogni lato in tre parti uguali e si sostituisca la parte centrale con un triangolo equilatero i cui lati abbiano lunghezza uguale a 1/3, ottenendo una seconda figura. Ripetendo lo stesso procedimento, prima per una volta (ottenendo una terza figura) e poi per un numero n di volte si arriverà a una quarta figura che somiglia a un fiocco di neve. Ripetendo il procedimento un numero infinito di volte si otterrà, infine, una figura il cui bordo viene detto curva di van Koch. Per calcolare la lunghezza di tale curva, si noti che ogni lato del triangolo della prima figura ottenuta ha lunghezza uguale a 1. per costruire la seconda figura ognuno dei tre lati è stato sostituito con una curva di lunghezza uguale a 4/3; nella terza figura tale curva è stato sostituito con una di lunghezza uguale a (4/3)²; nella quarta figura, infine, si ha una curva di lunghezza uguale a (4/3). Dopo infiniti passaggi, è stata quindi ottenuta una curva di lunghezza infinita. La curva di van Koch, l'insieme di Cantor, la curva di Peano sono state costruite per dare esempi di figure che hanno proprietà in contrasto con l'intuizione e che, quindi, sono casi eccezionali. Mandelbrot sosteneva, invece, che gli oggetti che si trovano in natura sono di norma frattali e che figure matematiche quali rette, triangoli, circonferenze sono solo approssimazioni della realtà; la geometria che più si avvicina alla natura è quindi quella che studia le figure frattali. Supponiamo, per esempio, di voler misurare la lunghezza delle coste italiane. Si può prendere, a tale scopo, una carta geografica dell'Italia e misurare la lunghezza delle coste. Per ottenere una misura più precisa si può ricorrere a una carta più particolareggiata, in cui sono rappresentati golfi e promontori che non erano raffigurati nella prima. La lunghezza che si otterrà, quindi, sarà maggiore di quella calcolata nella precedente misurazione. Più particolareggiata sarà la carta che si prenderà in esame, più aumenterà la lunghezza ottenuta. Se si continuasse all'infinito questo procedimento, la costa italiana risulterebbe una curva di lunghezza infinita. Tale procedimento è molto simile a quello seguito nella curva di van Koch. Un esempio di frattale è dato dall'insieme di Mandelbrot , che pur essendo definito in modo semplice, ha una struttura molto complicata. Fissato un numero complessoc, si definisce in modo ricorsivo la seguente successione di numeri complessi: z₁=0, zn=z²n-1+c per n>1. I primi quattro termini della successione sono quindi: z₁=0, z₂=c, z₃=c²+c, z4=(c²+c)²+c. L'insieme di Mandelbrot è dato dall'insieme dei numeri complessi c tali che il limite della successione zn abbia modulo finito. Si può dare una rappresentazione grafica di tale insieme considerando i numeri complessi come punti di un piano. I punti dell'insieme di Mandelbrot vengono rappresentati da punti neri. Tutti gli altri punti tendono all'infinito. I colori di tali punti indicano la velocità con la quale essi tendono all'infinito. I frattali, proprio perché imitano la natura, vengono spesso applicati nella grafica con il computer.

Bibliografia

O. Peitgen Heinz, H. P. Richter, La bellezza dei frattali, Torino, 1987; R. Pignoni (a cura di), Oggetti frattali, Torino, 1987.

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