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Cauchy, Augustin Louis, baróne

matematico francese (Parigi 1789-Sceaux 1857). Studiò all'École Polytechnique e ne uscì (1810) ingegnere civile, professione che esercitò a Cherbourg sino al 1813. Tornato a Parigi, divenne noto negli ambienti scientifici per alcuni suoi lavori sui poliedri e sugli integrali definiti, così da essere nominato accademico (1816). Professore al Collegio di Francia e alla Sorbona, Cauchy, legittimista convinto, rifiutò di prestare giuramento a Luigi Filippo nel 1830 e prese volontariamente la via dell'esilio. Fu in Svizzera, poi a Torino, dove insegnò fisica sublime, e infine a Praga quale precettore del duca di Chambord, nipote di Carlo X. Nel 1838 fece ritorno a Parigi, ma non riprese l'insegnamento fino al 1848 e fu successivamente dispensato da Napoleone III dal giuramento.Cauchy fu e resta una delle figure più importanti della matematica del sec. XIX non solo per la vastità e la ricchezza (789 scritti) della sua opera, ma anche per aver impresso all'analisi quel carattere che ancor oggi le è proprio sia nell'impostazione sia nel rigore della trattazione. Egli pone come momento iniziale dei suoi studi la nozione di limite, rigorosamente formulata e liberata da ogni intuizione geometrica, e mediante questa definisce via via le nozioni, tutte matematicamente precisate, di infinitesimo, di derivata, di funzione continua, di integrale definito e di convergenza di una serie. Rovescia poi i rapporti sino allora accolti tra le nozioni di differenziale e derivata e tra continuità e limite, mostrando come siano le seconde a essere fondamento delle prime e non viceversa. Gli è allora possibile sia sviluppare in modo rigoroso risultati già noti, sia affrontare questioni fino a quel momento non dominabili come per esempio la nozione di quoziente differenziale. Altro contributo capitale di Cauchy è la creazione della teoria delle funzioni di variabile complessa, una delle maggiori scoperte di quel secolo. Elaborò inoltre la teoria sulla convergenza e divergenza di serie infinite e formulò il criterio di convergenza che porta il suo nome. A lui si devono ancora i teoremi fondamentali che, sotto opportune condizioni, assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione di un'equazione o di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, e studi sulla teoria delle sostituzioni. Da questi ultimi scaturì un altro grande apporto di Cauchy, la sistematizzazione e lo sviluppo della teoria dei gruppi finiti. Oltre ai menzionati, molti altri furono i contributi di Cauchy alla matematica, ma i suoi interessi andavano oltre questa scienza, infatti contribuì alla meccanica celeste, alla teoria ondulatoria della luce, formulò una teoria sulla dispersione normale della luce e la teoria matematica dell'elasticità. Va da ultimo ricordata la profonda impronta lasciata da Cauchy sia col suo insegnamento sia coi suoi testi (i più famosi dei quali sono: Cours d'analyse, 1821; Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, 1823; Leçons sur le calcul différentiel, 1829) nella formazione delle generazioni successive di matematici.

Costituiscono la base della teoria delle funzioni di variabile complessa; una funzione, w=u+iv, è detta analitica o monogena se soddisfa tali condizioni, espresse dalle equazioni:

La serie a termini reali è convergente se è soddisfatta o l'una o l'altra delle condizioni:

Per una funzione analitica, regolare in un dominio D semplicemente connesso, l'integrale esteso a una qualsiasi linea chiusa compresa in D è sempre nullo.

Una successione {xn} su uno spazio metrico X si dice di Cauchy se per ogni numero reale positivo ε esiste un numero intero N tale che per ogni n ≥ N, m ≥ N si ha che la distanza tra xn e xm è minore di ε. Ogni successione di Cauchy è convergente. Viceversa, non tutte le successioni di Cauchy sono convergenti. Uno spazio metrico tale che ogni successione di Cauchy su di esso è convergente si dice completo. L'insieme R dei numeri reali con l'usuale metrica è completo. Analogamente è completo lo spazio Rn con l'usuale metrica.

Nel 1821 Cauchy ha dimostrato che, dati due numeri reali a, b, si ha la seguente disuguaglianza:

Se f e g sono funzioni reali continue e derivabili e (x)≠0 per ogni x tale che a ≤ x ≤ b, allora esiste y con atale che

Se si pone g(x)=x con a ≤ x ≤ b, si ottiene il teorema del valor medio di Lagrange.