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Analisi matematica: definizione

sf. [sec. XIV; f. di derivato]. In analisi matematica, per una funzione di variabile reale, è il limite, se esiste, del rapporto tra l'incremento della funzione in un punto e l'incremento della variabile indipendente al tendere di quest'ultimo a zero. In altri termini, sia la funzione y=f(x) definita in un intervallo (a, b): essa ammette derivata in un punto x0 interno all'intervallo se esiste il limite del rapporto, detto rapporto incrementale, al tendere di Δx a zero. Se la funzione ammette derivata in x0 essa è detta derivabile in quel punto. Si calcoli, per esempio, il valore della derivata della funzione y=x², per x=7. Sarà y=49 e, dando a x un incremento Δx, il corrispondente incremento di y sarà Δy=(7+Δx)²-7²=14Δx+Δx². Il valore del rapporto incrementale è allora 14+Δx e, facendo tendere Δx a zero, il limite di tale rapporto è 14, valore della derivata in x=7. Quando in un punto x0 esiste il limite del suddetto rapporto incrementale solo per x che tende a x0 per valori maggiori di x0, cioè per x che tende a x0 da destra, si dice che esiste la derivata destra; se il limite esiste solo per valori di x minori di x0 si dice invece che esiste la derivata sinistra. Se in x0 il valore della derivata destra è uguale a quello della derivata sinistra, questo valore è uguale a quello della derivata in x0, ma se il valore della derivata destra è differente da quello della derivata sinistra la derivata non esiste e la funzione non è derivabile in quel punto. Se in un intervallo, o in tutto l'intervallo di esistenza di una funzione, la funzione è derivabile, l'insieme dei valori dei limiti dei rapporti incrementali costituisce una nuova funzione: la funzione derivata, o derivata; essa si indica con uno dei simboli Df, df/dx, , ḟ.

Analisi matematica: significato geometrico della derivata

Dallo studio del grafico di una funzione y=f(x) e in particolare del triangolo P0HP si ricava che il rapporto incrementale Δyx è il coefficiente angolare della retta passante per P0 e P. Al variare di Δx questa retta appartiene sempre al fascio delle rette passanti per P0 e, se esiste il limite del rapporto incrementale, la retta stessa ammette una posizione limite t. Pertanto, la derivata di una funzione y=f(x), calcolata in un punto di ascissa x0, è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto considerato; da ciò si deduce che l'equazione di questa retta è y=f(x0)+(x0) (x-x0).

Analisi matematica: significato cinematico della derivata

Sia P un punto che si muove di moto vario lungo una retta su cui sia fissata un'origine e l'ascissa curvilineas di P sia individuata, in ogni istante t, dall'equazione s=f(t); considerati due istanti t0 e t0t, il rapporto incrementale tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo rappresenta la velocità media di P nell'intervallo (t0, t0t). Il limite per Δt —→ 0 di questo rapporto è la derivata di f(t) calcolata per t=t0 ed è la velocità v all'istante di P. In modo analogo, considerando la funzione g(t)=v(t), si ottiene che l'accelerazione media è il rapporto incrementale e che il limite per Δt —→ 0 dà l'accelerazione all'istante di P. Tra altri significati fisici di derivata, l'intensità di una forza è la derivata del lavoro rispetto allo spostamento; la potenza di una macchina è la derivata del lavoro rispetto al tempo; l'intensità di una corrente elettrica è la derivata della quantità di elettricità rispetto al tempo.

Analisi matematica: derivate successive

Se la funzione (x) è derivabile in x0, cioè se esiste

tale limite f‟(x0) è detto derivata seconda, o del secondo ordine, di f(x) in x0. In modo analogo si passa alla considerazione della derivata del terzo ordine, del quarto ordine e così di seguito. La derivata ennesima di una funzione f(x) si indica con uno dei seguenti simboli:

Analisi matematica: regole di derivazione

Per determinare la derivata delle funzioni elementari si procede al calcolo del limite del rapporto incrementale. Per esempio, per la funzione y=x² si ha:

per cui =2x, cioè la derivata di x² è 2x. Analogamente si trova, per esempio, che la derivata di xn è nxn-1. Valgono poi alcuni teoremi sulle derivate che possono essere così sintetizzati:

Esistono inoltre teoremi per determinare la derivata di una funzione composta e la derivata di una funzione inversa; per il primo si ha che, se z=f[g(x)](x), è φ´(x)=f´[g(x)]∤(x); per la funzione inversa di y=f(x), che è la funzione x=g(y), vale che (y)=1/(x) Da questi teoremi si ricavano tutte le regole per derivare qualunque funzione.

Analisi matematica: derivate parziali

Sono le derivate di una funzione di due o più variabili quando queste sono considerate tutte costanti tranne una. Sia f(x, y) una funzione definita in un campo A e sia (x0, y0) un punto interno ad A; se la funzione f(x, y0) è derivabile per x=x0, cioè se esiste il

,

la f(x, y) ammette nel punto (x0, y0) la derivata parziale rispetto a x. Analogamente se per la funzione f(x0, y) esiste

la funzione ammette in (x0, y0) la derivata parziale rispetto a y. Le derivate parziali così definite sono dette del primo ordine e si indicano con una delle seguenti notazioni: quelle rispetto a x e: quelle rispetto a y. Anche le derivate parziali hanno un importante significato geometrico: intersecando la superficiez=f(x, y) con un pianoy=y0 si ottiene una curva z=f(x, y0). Allora (x, y) calcolata in (x0, y0) è la tangente trigonometrica dell'angolo che la tangente a tale curva forma con la retta y=y0 del piano (x, y). Del tutto analogo è il significato geometrico di . Se e , funzioni definite nel campo A, sono a loro volta derivabili parzialmente rispetto a x o a y si ottengono derivate parziali dette del secondo ordine (in numero di 2²=4) che sono: f‟, f‟, f‟, f‟. Le f‟ e f‟ sono derivate parziali pure, mentre le altre sono derivate parziali miste. Sono molto usati anche i simboli

In modo analogo si ottengono le derivate parziali successive. Le derivate parziali di ordine n sono in numero di 2. Per le derivate parziali dello stesso ordine di una data funzione, esiste un importante teorema di H. Schwarz che assicura l'invertibilità dell'ordine di derivazione. Per esempio,

Tutte le considerazioni svolte per f(x, y) si possono estendere in maniera opportuna al caso di funzioni di m variabili f(x₁, x₂, ..., xm).

Analisi matematica: tipi particolari di derivate

Tipi particolari di derivate sono la derivata secondo una direzione, la derivata logaritmica, la derivata totale. La derivata di una funzione f secondo una direzione identificata da una retta r che forma gli angoli α e β con gli assi cartesiani x e y è definita dall'espressione

la derivata logaritmica di una funzione f è la derivata del logaritmo di quella funzione: è, cioè, /f; la derivata totale di una funzione f(t; x₁, ..., xn), in cui le xi (i=1, ..., n) dipendono a loro volta da t, è data dall'espressione

Per la derivata di una funzione di variabile complessa e per la derivata di un tensore vedi, rispettivamente, analitico e tensore.