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Gauss, Karl Friedrich

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Biografia

Matematico, astronomo, fisico e geodeta tedesco (Brunswick 1777-Gottinga 1855). Di modestissima famiglia, rivelò ben presto eccezionali doti matematiche (per cui fu in seguito soprannominato princeps mathematicorum). All'età di dieci anni, per esempio, calcolò mentalmente in pochi secondi la somma dei primi 100 numeri interi positivi. Molto probabilmente capì che tale somma poteva essere facilmente calcolata sommando il primo numero con l'ultimo (1+100=101), poi il secondo con il penultimo (2+99=101) e così via. Trovò, cioè, la formula (100+1)100/2. Tale formula può essere facilmente estesa al caso della somma di n numeri in progressione aritmetica. Grazie all'interessamento e agli aiuti del duca di Brunswick, poté frequentare il collegio di quella città (1792-95) e successivamente l'Università di Gottinga. A partire dal 1796 iniziò la stesura di un diario scientifico, continuata sino al 1814, che attesta come in quel periodo Gauss, oltre a conseguire diversi risultati in vari campi e che non rese mai noti, avesse iniziato gli studi sulle geometrie non euclidee. Nel 1799 si laureò all'Università di Helmstädt con una tesi che contiene la prima completa dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. Due anni dopo completò la pubblicazione delle Disquisitiones Arithmeticae, il primo moderno trattato di teoria dei numeri che lo rese famoso nell'ambiente scientifico. I maggiori risultati ivi contenuti concernono le proprietà delle congruenze, la scomposizione di un numero in fattori primi, la rappresentazione geometrica dei numeri complessi, la dimostrazione della legge di reciprocità dei residui quadratici, la divisione in parti uguali di una circonferenza effettuabile con riga e compasso (ciclotomia). Nei primi anni dell'Ottocento si dedicò al calcolo delle orbite dei pianetini Ceres, Giunone e Pallade, allora appena scoperti, applicando il metodo dei minimi quadrati, da lui stesso ideato fin dal 1794 per la valutazione degli errori di misurazione, e introducendo un nuovo metodo per ricavare gli elementi di un'orbita da sole tre osservazioni. Questi risultati furono resi noti nel 1809 con la pubblicazione dell'opera Theoria motus corporum coelestium, nella quale espose in modo completo la teoria del moto dei corpi del sistema solare nel caso non solo di orbite ellittiche ma anche iperboliche e paraboliche. In questa opera trovò anche definitiva formulazione la legge degli errori. Nel 1807 fu nominato direttore dell'Osservatorio di Gottinga con l'incarico di insegnare matematica in quell'università. A partire da quell'anno, le sue ricerche di matematica cedettero di volta in volta il passo, oltre che agli impegni professionali assunti, a ricerche astronomiche (1817-21), geodetiche e geometriche (1821-31), a studi sulla fisica-matematica e, in collaborazione con W. Weber, sull'elettromagnetismo (1831-41). Dopo il 1841 si dedicò nuovamente a ricerche di geometria e a studi relativi alla teoria delle funzioni di variabile complessa. Riguardo alla geometria e geodesia Gauss, partendo da problemi cartografici, elaborò la teoria della rappresentazione conforme delle superfici e stabilì il teorema secondo cui il prodotto delle curvature principali di una superficie flessibile, ma inestensibile, è costante comunque si deformi la superficie stessa (theorema egregium). Nel campo della fisica-matematica enunciò il principio meccanico del minimo sforzo, formulò i Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibri (1830), compì numerosi studi sul magnetismo terrestre enunciando i teoremi generali relativi alle azioni fra poli magnetici, tra i quali le proporzioni fondamentali della teoria del potenziale, e si occupò infine di varie questioni di ottica. La cautela con cui Gauss pubblicò le sue scoperte da un lato provocò alcune questioni sulla loro priorità (con A. M. Legendre per il metodo dei minimi quadrati, con J. Bolyai sulla scoperta della geometria non euclidea), dall'altro impegnò matematici come N. H. Abel, K. G. Jacobi, W. Hamilton in ricerche la cui soluzione era già negli scritti di Gauss, come testimoniò la loro pubblicazione avvenuta dopo la sua morte. Fra le altre elaborazioni di Gauss sono rilevanti il principio variazionale; il metodo della doppia pesata; il sistema simmetrico (sistema CGS simmetrico).

Approssimazione di Gauss

Nella teoria dei sistemi ottici centrati, consiste nel considerare solo raggi luminosi monocromatici incidenti ed emergenti poco inclinati rispetto all'asse del sistema e raggi di curvatura delle superfici sufficientemente grandi, in modo che i valori numerici delle funzioni senα e tgα degli angoli α formati dai raggi luminosi con l'asse possono considerarsi coincidenti con il valore di α in radianti (condizioni di Gauss).

Legge degli errori di Gauss

È la legge relativa alla distribuzione degli errori accidentali di osservazione. Gauss, ponendo come ipotesi che date n misure di una grandezza, la misura più probabilmente esatta della grandezza stessa è la media aritmetica della serie di misure, dimostrò che la frequenza (o probabilità) degli errori accidentali di osservazione, supposto in numero infinito, è tanto più grande quanto più l'errore è piccolo ed è massima quando l'errore è zero. La frequenza decresce quindi al crescere del valore assoluto degli errori e decresce in modo simmetrico, cioè è la stessa sia per gli errori in più che per quelli in meno. La legge, benché intuita da studiosi precedenti, come l'astronomo J. Bredley e P. S. Laplace, fu riscoperta da Gauss misurando la posizione degli astri. La legge trova espressione formale nella cosiddetta distribuzione normale, rappresentata graficamente dalla curva normale o curva degli errori. Eseguendo un numero molto grande di misurazioni, gli errori accidentali non risultano distribuiti a caso, perché gli errori piccoli risultano più numerosi ed esiste un legame tra la grandezza dell'errore e la sua probabilità di commetterlo: indicando con x l'errore commesso, cioè lo scarto del valore osservato dal valore vero della grandezza misurata, che si suppone uguale alla media aritmetica dei valori trovati, la probabilità che compete a tale errore è misurata dalla curva degli errori di Gauss), in cui h è una costante chiamata modulo di precisione, il cui valore dipende appunto dalla precisione degli strumenti usati e dall'abilità dello sperimentatore; essa determina il valore del massimo della curva e la sua larghezza: gli errori sono tanto più piccoli quanto più h è grande. Eseguendo una misurazione, la probabilità p di commettere un errore minore o uguale a una quantità a è misurata dall'area compresa tra l'intervallo [–a,+a] sull'asse delle x e la parte corrispondente di curva degli errori, cioè . L'area compresa tra la curva e l'asse x è uguale a 1, perché rappresenta la probabilità totale, cioè la certezza. Nei calcoli interviene spesso la deviazione standard (o errore quadratico medio) δ, definita come la radice quadrata del valore medio dei quadrati degli errori:

il cui valore sperimentale, per un grande numero n di misurazioni, è dato da

Facendo una misurazione, la probabilità di fare un errore minore o uguale alla deviazione standard è del 68,3%.

Metodo di Gauss

Metodo di risoluzione dei sistemi di equazioni linerari basato sulla successiva eliminazione delle incognite. Illustriamo tale metodo con un esempio. Consideriamo il sistema:

Eliminiamo nella seconda equazione l'incognita x sottraendo a essa la prima equazione moltiplicata per 2; eliminiamo nella terza equazione la x sottraendo a essa la prima equazione moltiplicata per 3. Abbiamo così ottenuto il sistema:

Eliminiamo ora dalla terza equazione la y sottraendo a essa la seconda equazione moltiplicata per 2. Otteniamo il sistema:

Dalla terza equazione ricaviamo z=-2/5. Sostituendo tale valore di z nella seconda equazione, otteniamo y=6/5. Sostituendo nella prima equazione a y e z i valori ottenuti, ricaviamo x=1/5. Abbiamo così determinato la soluzione del sistema. Si può applicare questo tipo di procedimento a un qualsiasi sistema di equazioni lineari.

Proiezione di Gauss

È una rappresentazione conforme cilindrica inversa che viene utilizzata nella cartografia di moltissimi Paesi. È detta “rappresentazione”, perché la carta che ne deriva non segue alcun criterio geometrico come nelle proiezioni prospettiche, ma è costruita solo in base a formule di corrispondenza dedotte per via analitica. È “conforme”, perché gli angoli misurati sul terreno hanno lo stesso valore degli angoli calcolati sulla carta. È “cilindrica”, perché la rappresentazione ha qualche affinità con una proiezione cilindrica. È “inversa”, perché il cilindro è tangente all'ellissoide lungo un meridiano, a differenza di quella di Mercatore che ha il cilindro tangente lungo l'equatore. Per tale motivo nei Paesi anglosassoni la rappresentazione di Gauss è detta Universale Trasversa di Mercatore (UTM). Il reticolato geografico, calcolato con le formule di corrispondenza di Gauss, ha le seguenti caratteristiche: il meridiano centrale di riferimento e l'equatore sono ortogonali e rappresentati da due linee rette; le distanze fra i paralleli sono conservate solo lungo il meridiano di riferimento; i paralleli e i meridiani, che si incontrano sempre ad angolo retto per soddisfare la condizione di conformità, sono delle linee curve le cui equazioni sono molto complesse. In una rappresentazione così fatta, risulta che le deformazioni aumentano man mano che ci si allontana dal meridiano di riferimento, il quale si conserva in vera grandezza. Per ovviare a questo inconveniente e ottenere deformazioni accettabili ai fini cartografici, la rappresentazione viene limitata a un fuso di ampiezza di 6º e più precisamente di 3º E e 3º O del meridiano di riferimento, detto quindi meridiano centrale del fuso. La superficie dell'ellissoide risulta così essere suddivisa in 60 fusi di 6º ciascuno a partire dal meridiano di Greenwich (l'Italia è compresa nei fusi 32 e 33). Ogni fuso ha un suo sistema di riferimento, pertanto è possibile stabilire relazioni fra punti dello stesso fuso, ma non fra punti di fusi diversi, anche se contigui. Se si vogliono mettere in relazione punti appartenenti a fusi diversi, occorre sempre o calcolare le loro coordinate geografiche mediante le formule della geodesia o calcolare le coordinate gaussiane di un punto rispetto al fuso di appartenenza dell'altro punto. La proiezione di Gauss fu ideata dallo scienziato tedesco nel 1821 e in seguito fu studiata da moltissimi geodeti, fra cui L. Krüger, che sviluppò formule per calcolare i valori della longitudine fino a 9º dal meridiano centrale, e G. Boaga, che realizzò le tavole per il calcolo dei coefficienti degli sviluppi in serie delle formule di corrispondenza.

Teorema di Gauss

In un campo vettoriale caratterizzato dal vettorev, il flusso di v attraverso una superficie S chiusa dipende linearmente dalla somma delle sorgenti del campo interne alla superficie e dalla semisomma delle sorgenti localizzate sulla superficie:

dove ∑qi è la somma algebrica delle sorgenti interne a S e ∑qS è la somma algebrica delle sorgenti esterne a S, k è una costante che dipende dalla natura del campo considerato. Nel caso di campi elettrostatici le sorgenti sono cariche elettriche e k è la costante di Coulomb; nel caso di campi gravitazionali le sorgenti sono masse e la costante k è la costante di gravitazione universale.

Teorema di Gauss-Bonne

Data una superficie regolare V di R3, la sua curvatura totale ω e la sua caratteristica di Eulero-Poincaré χ sono legate dalla formula ω=2πχ. La curvatura totale ω di V è per definizione uguale a ʃCGdS dove CG è la curvatura di Gauss e dS è l'elemento d'area.

Bibliografia

G. W. Dunnington, Gauss: Titan of Science. A Study of His Life and Work, New York, 1955; H. Reichardt, L'œuvre mathématique de Karl Friedrich Gauss, Parigi, 1962; W. L. Schaaf, Karl Friedrich Gauss Prince of Mathematicians, New York, 1964.