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cònica

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Descrizione generale

sf. [sec. XVII; da conico]. Curva ottenuta per sezione di un cono rotondo con un piano; si possono ottenere tre tipi di coniche: ellissi, parabole e iperboli "La figura 1 (a,b,c) è a pag. 163 del 7° volume." . "Per la figura 1 vedi il lemma del 6° volume." L'ellisse è una curva chiusa, tutta al finito, di cui la circonferenza è un caso particolare; l'iperbole si compone di due parti (o rami) distinte che si estendono all'infinito. È una curva aperta, come la parabola che consiste, però, di un solo ramo esteso all'infinito. L'ellisse si ottiene secando un cono rotondo con un piano, non parallelamente ad alcuna generatrice. Secando il cono parallelamente a una generatrice, in modo da incontrare tutte le altre da una stessa parte del vertice, si ha la parabola. Infine, se il piano secante è parallelo a due generatrici, in modo che queste siano incontrate dal piano da parti opposte rispetto al vertice, si ha l'iperbole. § Le coniche possono essere descritte come luoghi geometrici. L'ellisse, l'iperbole, la parabola sono il luogo dei punti le cui distanze da un punto fisso (fuoco) e da una retta fissa (direttrice) hanno rapporto costante, detto eccentricità, rispettivamente minore, uguale o maggiore di uno . "Per la figura 2b vedi il lemma del 6° volume." "La figura 2a è a pag. 163 del 7° volume." In particolare, l'ellisse è il luogo dei punti le cui distanze da due punti fissi, detti fuochi, hanno una somma costante. L'iperbole "La figura 2c è a pag. 163 del 7° volume." è il luogo dei punti le cui distanze da due punti fissi, fuochi, hanno una differenza costante in valore assoluto . "Per la figura 2c vedi il lemma del 6° volume." "Per approfondire Vedi Gedea Astronomia vol. 2 p 157" "Per approfondire Vedi Gedea Astronomia vol. 2 p 157"

Geometria proiettiva

Nell'ambito della geometria proiettiva, le coniche si definiscono come segue: dati due fasci di rette complanari che si corrispondano in una proiettività, cioè in una corrispondenza biunivoca ottenuta con successive operazioni di proiezione e sezione, è detto conica l'insieme dei punti comuni alle coppie di rette corrispondenti. Si parla in questo caso di conica come luogo di punti, o semplicemente di conica; per dualità piana si definisce il concetto di conica inviluppo. Sempre nell'ambito della geometria proiettiva, data una conica e un punto P non appartenente alla conica, è detta polare di P rispetto alla conica, la retta congiungente due punti diagonali di un quadrangolo piano completo avente i vertici sulla conica e di cui P è l'altro punto diagonale. Nel caso in cui il punto P stia sulla conica, la polare di P è la tangente in P alla conica. "Per la polarità rispetto alla conica vedi figura 3 al lemma del 6° volume." "La polarità rispetto alla conica è illustrata nella figura 3 a pag. 163 del 7° volume." Dualmente, dicesi polo rispetto alla conica di una retta p non tangente alla conica, il punto di intersezione di due rette diagonali di un quadrilatero completo avente i lati tangenti alla conica e di cui p è l'altra retta diagonale. In base a queste definizioni, due punti si dicono coniugati rispetto a una conica se l'uno giace sulla polare dell'altro e, dualmente, due rette si dicono coniugate rispetto a una conica se l'una passa per il polo dell'altra. Sia ora C una conica e r una retta non tangente a C; a ogni punto X su r associamo la sua retta polare x e sia X´ l'intersezione di r con x: X e X´, sono coniugati rispetto alla conica; viceversa la polare di X´passa per X (reciprocità delle polari). Quindi una data conica determina su ogni retta non tangente un'involuzione in cui le coppie di punti corrispondenti sono coniugate rispetto alla conica; dualmente, una data conica determina, su ogni fascio di centro P non sulla conica, un'involuzione in cui le coppie di rette corrispondenti sono coniugate rispetto alla conica. Nella teoria proiettiva delle coniche hanno particolare importanza il teorema di Pascal, il teorema di Brianchon e il teorema di Desargues. Il primo afferma che, se un esagono semplice ABCDEF è inscritto in una conica, le tre coppie di lati opposti, AB e DE, BC ed EF, CD e FA, si intersecano in tre punti allineati su una retta, detta retta di Pascal. Il teorema di Brianchon, duale del teorema di Pascal, afferma che, se un esalatero semplice abcdef è circoscritto a una conica, le rette congiungenti i vertici opposti, ab e de, bc ed ef, cd e fa, passano per uno stesso punto, detto punto di Brianchon. Il teorema di Desargues, infine, afferma che se un quadrangolo semplice è inscritto in una conica, ogni secante della conica non passante per alcun vertice del quadrangolo interseca la conica in due punti che formano una coppia di punti corrispondentisi nell'involuzione determinata sulla secante dalle coppie di lati opposti del quadrangolo. Sempre nell'ambito della teoria proiettiva delle coniche, dicesi triangolo autopolare rispetto a una conica ogni triangolo tale che ogni vertice sia polo del lato opposto. Assumendo i tre vertici del triangolo come punti di coordinate omogenee (x0, 0, 0), (0, x₁, 0), (0, 0, x₂), l'equazione di una conica, nel piano proiettivo (cioè nel piano cartesiano con in più la retta all'infinito, o retta impropria), assume la forma x²0+x2₁+x2₂=0. In tal modo, considerando l'intersezione di una conica, rappresentata da questa equazione, con la retta impropria, la conica si dice rispettivamente ellisse, parabola, iperbole a seconda che tale intersezione sia costituita da due punti immaginari coniugati, da due punti reali coincidenti, da due punti reali distinti. Il polo della retta impropria è detto centro della conica: esso è all'infinito se, e solo se, la conica è una parabola; si dice allora che la parabola non ha centro proprio, mentre l'ellisse e l'iperbole sono coniche a centro. Le rette per il centro di una conica si dicono diametri. Sia d un diametro di una conica; esso incontra la retta impropria in un punto e la polare di questo punto rispetto alla conica è ancora un diametro, . I diametri d, si dicono coniugati e l'insieme delle coppie di diametri coniugati costituisce un'involuzione detta dei diametri coniugati. Nel piano affine reale, cioè nel piano proiettivo privato della retta impropria, le seguenti equazioni, derivate dalla x²0+x2₁+x2₂=0 con un cambiamento di coordinate,

rappresentano, rispettivamente, un'ellisse, un'ellisse a punti immaginari, una iperbole, una parabola. Questa è la classificazione affine delle coniche, cioè la divisione in classi di coniche trasformabili l'una nell'altra mediante trasformazioni affini; le equazioni diconsi equazioni canoniche affini. Se si fissa, invece, nel piano euclideo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali e si assumono come assi cartesiani gli assi di una conica, cioè i diametri coniugati perpendicolari fra loro, si hanno per l'ellisse e la iperbole le seguenti equazioni canoniche:

per la parabola si ha invece la seguente equazione canonica: y²=2px dove p è un numero reale maggiore di zero. Nella teoria proiettiva della conica si dice, infine, fuoco di una conica un punto F nel quale l'involuzione delle rette coniugate rispetto alla conica sia l'involuzione ortogonale, cioè quell'involuzione nella quale le coppie di rette corrispondentisi sono ortogonali. Una conica ha al più due fuochi reali e se ne ha due, F e F´, allora la retta FF´è un asse. Precisamente, l'ellisse e l'iperbole hanno esattamente due fuochi; i fuochi coincidono con il centro nel caso del cerchio; la parabola ha un solo fuoco. La polare di un fuoco di una conica si dice direttrice della conica associata al fuoco.

Algebra

Le coniche sono spesso anche dette curve algebriche del 2º ordine, in quanto nel piano proiettivo complesso la conica generale è rappresentata in coordinate omogenee da una equazione di 2º grado del tipo

Siano F(x0, x₁, x₂)=0 e (x0, x₁, x₂)=0 due equazioni rappresentanti due coniche diverse. L'equazione ottenuta per combinazione lineare dalle due date

rappresenta un fascio di coniche, nel senso che al variare dei parametri r, t si ottengono infinite coniche. Dall'ente fascio di coniche si perviene, per dualità piana, a quello di schiera di coniche che, in coordinate di retta, è rappresentato da una combinazione lineare delle equazioni di due coniche inviluppo.