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invariànte

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Lessico

agg. e sm. [sec. XIX; in +variante]. Che non varia, non cambia; in particolare, nel linguaggio scientifico, dato un determinato insieme di entità e considerate certe trasformazioni su di esse, si dicono invarianti quelle proprietà, o grandezze, o espressioni, che non vengono modificate dall'applicazione delle trasformazioni suddette. § In fisica, sono invarianti le grandezze i cui valori rimangono identici al cambiare del sistema di coordinate cui sono riferite. Sono invarianti le grandezze scalari, come la massa in meccanica classica, la carica elettrica e il lavoro, che non dipendono dal sistema di coordinate; le grandezze vettoriali e tensoriali dipendono invece dal sistema di coordinate cui sono riferite e nel passare da un sistema all'altro si trasformano secondo regole ben definite, pur potendosi considerare anche per esse determinate espressioni che restano invarianti nel cambiamento di coordinate, quali, per i vettori, i moduli. § In ottica, sono dette ottici talune espressioni algebriche riguardanti sistemi ottici attraversati da radiazioni luminose, i valori delle quali, calcolati prima e dopo l'attraversamento, sono eguali; sono tali, per esempio, l'invariante di Snellius-Cartesio e l'invariante di Lagrange-Helmholtz. § In meccanica è detta adiabatica ogni grandezza relativa a un dato sistema che, durante lo svolgimento di un determinato fenomeno, rimane praticamente costante. Tale concetto fu introdotto da P. Ehrenfest nello studio della fisica atomica e fu successivamente teorizzato in modo sistematico da T. Levi-Civita. § In matematica, funzione , rispetto a una trasformazione che muta le coordinate (x, x, x) nelle coordinate (x´₁, x´₂, x´₃), una funzione la cui espressione non cambia quando a essa si applica tale trasformazione. Nel caso di espressioni algebriche si parla di algebrici.

Geometria

Una proprietà geometrica di una figura si dice invariante rispetto a un gruppo di trasformazioni G dello spazio se la figura trasformata da ciascun elemento di G gode ancora di quella proprietà. Così, per un quadrilatero, la proprietà di essere un quadrato è invariante rispetto al gruppo dei movimenti, quella di essere un parallelogramma è invariante rispetto al gruppo delle affinità. Si parla poi di invariante nel caso di numeri, o espressioni, legati a una proprietà invariante rispetto a un gruppo G; essi restano invariati quando si opera una trasformazione di G. Per esempio l'area di un quadrato è un invariante rispetto al gruppo dei movimenti; il birapporto di quattro punti allineati è un invariante rispetto al gruppo proiettivo; l'ordine di una curva algebrica è un invariante rispetto al gruppo proiettivo. L'equazione di una conica, a00 + 2a0₁x + 2a0₂y + a₁₁x2 + 2a₁₂xy + a₂₂y² = 0 ammette tre invarianti rispetto al gruppo ortogonale, il cui annullarsi ha un significato geometrico. Essi sono legati alla matrice A = (a) associata alla conica. Un invariante è dato dal determinante della matrice A; viene detto invariante cubico. Il suo annullarsi significa che la conica è degenere. Un altro invariante è dato dal determinante del minore della matrice A formato dalle ultime due righe e colonne, esso è quindi uguale a a₁₁a₂₂- a2₁₂; viene detto invariante quadratico. Il suo annullarsi significa che la conica è una parabola. L'ultimo invariante viene detto lineare ed è dato dalla traccia del minore della matrice A di cui sopra; esso è quindi uguale a a₁₁+ a₂₂. Esso si annulla se e solo se la conica è un'iperbole equilatera. L'invariante quadratico ha un'importanza particolare poiché anche il suo segno ha un significato geometrico. Se l'invariante quadratico è positivo, la conica è un'ellisse, se è negativo è un'iperbole. Anche le equazioni delle quadriche hanno invarianti rispetto al gruppo ortogonale, il cui annullarsi ha un significato geometrico analogo a quello delle coniche.