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trigonometrìa

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Definizione

sf. [trigono+-metria]. La trigonometria è un ramo della matematica che si propone di determinare le misure degli elementi di un triangolo piano o sferico (lati e angoli), note alcune di esse; come si suol dire molto concisamente, la trigonometria permette di risolvere i triangoli.

Trigonometria piana: generalità

I casi che si possono presentare in trigonometria piana sono quattro e corrispondono ai criteri di uguaglianza dei triangoli: sono dati i tre lati; sono dati un lato e due angoli; sono dati due lati e l'angolo compreso; sono dati due lati e l'angolo opposto a uno di essi. In trigonometria giocano un ruolo essenziale le funzioni trigonometriche, o goniometriche, così definite: fissato un sistema cartesiano ortogonale del piano, OXY, si consideri il cerchio di raggio 1 e centro O, detto cerchio trigonometrico, o goniometrico. Considerato poi l'angolo , determinato dall'asse X e dalla semiretta di origine O che interseca il cerchio trigonometrico nel punto P di coordinate (x, y), si definisce sen α=y, cos α=x, tg α=y/x, cosec α=1/y, sec α=1/x, ctg α=x/y, con le misure rapportate al raggio del cerchio, che è unitario; queste funzioni diconsi, rispettivamente, seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente dell'angolo α, misurato in radianti. Dalle definizioni si hanno le seguenti relazioni: cosec α=1/sen α; sec α=1/cos α; tg α=sen α/cos α; ctg α=cos α/sen α=1/tg α.poi la relazione fondamentale: sen² α+cos² α=1, da cui si possono ricavare le seguenti formule che esprimono le relazioni che intercorrono tra le funzioni trigonometriche:

Dalle definizioni si ricavano anche le seguenti proprietà: le funzioni trigonometriche sono funzioni periodiche; seno e coseno hanno periodo 2π, cioè detta f(α) una qualsiasi di esse, si ha che f+2π)=f(α); tangente e cotangente hanno periodo π, cioè detta g(α) una di esse, si ha g)=g(α). La funzione seno è dispari, cioè sen (-α)=-sen α; il coseno è una funzione pari, cioè cos (-α)=cos α. Tra le funzioni di archi complementari e supplementari intercorrono le seguenti relazioni:

Esse corrispondono rispettivamente alle formule di riduzione al primo ottante e al primo quadrante. Vi sono poi alcune formule, di grande utilità pratica, quali quelle di addizione e sottrazione, di prostaferesi, di duplicazione, di bisezione, di Briggs, formule parametriche. Dalla relazione fondamentale si ricava che i valori che possono assumere le funzioni seno e coseno sono compresi tra -1 e 1, e queste funzioni sono definite per ogni valore dell'angolo variabile, variabilità che può limitarsi, data la periodicità, per esempio, all'intervallo [0, 2π] oppure [-π, π]. Invece le funzioni tangente e cotangente sono definite per tutti i valori dell'angolo α, tranne quelli per cui si ha rispettivamente cos α=0 e sen α=0. Opportune formule, dette di riduzione al primo quadrante, permettono di calcolare i valori delle funzioni trigonometriche usando solo angoli di ampiezza compresa tra 0 e π/2. Formule, dette di riduzione al primo ottante, permettono di calcolare in maniera analoga i valori delle funzioni trigonometriche usando solo angoli di ampiezza compresa tra 0 e π/4.

Trigonometria piana: formule di derivazione

D sen x=cos x; D cos x=-sen x; D tg x=1/cosa2x=1+tga2 x, D ctg x= =1/sena2x, dove, come è usuale, si è indicata con x la variabile angolo.

Trigonometria piana: formule di Eulero

Legano le funzioni seno e coseno alla funzione esponenziale:

e=cos x+i sen x. Queste formule consentono di definire anche nel campo complesso le ordinarie funzioni trigonometriche, pensando la variabile x come variabile complessa.

Trigonometria piana: risoluzione dei triangoli rettangoli

Sia ABC un triangolo rettangolo, disposto con il vertice C nell'origine degli assi e con il cateto AC lungo l'asse X. Detti α, β, γ gli angoli in A, B, C e a, b, c le lunghezze dei lati opposti, rispettivamente ai vertici A, B, C, si hanno le formule b=a sen β; c=a cos β; b=c tg β; c=a sen γ; b=a cos γ; c=b tg γ. Queste relazioni, insieme alle altre due α+β+γ=π e a, sono sufficienti a risolvere completamente un triangolo rettangolo.

Trigonometria piana: risoluzione di un triangolo qualunque

Si indichino con a, b, c le lunghezze dei lati di un triangolo qualunque e con α, β, γ gli angoli ad essi opposti. Si hanno i seguenti teoremi. Il teorema dei seni:

essendo R il raggio del cerchio circoscritto al triangolo. Da questo teorema si deduce il teorema dei coseni, detto anche di Carnot o di Pitagora generalizzato: a²=b²+c²-2bc cosα, e altri analoghi, ottenuti per sostituzione circolare sui lati e gli angoli. Questi due teoremi permettono di risolvere un triangolo qualunque. Infatti, noti i tre lati a, b, c, gli angoli si calcolano con il teorema dei coseni; noto un lato e due angoli, il terzo angolo è dato dalla relazione α+β+π e i rimanenti due lati si calcolano col teorema dei seni; noti due lati e l'angolo compreso, il terzo lato si ottiene con il teorema di Carnot e gli altri due angoli con il teorema dei seni; noti due lati e un angolo opposto a uno di essi, si ricava il terzo lato con il teorema di Carnot, risolvendo un'equazione di 2º grado completa, indi si ricade nel caso 1.

Trigonometria sferica

La trigonometria sferica studia la risoluzione dei triangoli sferici; questa, pur presentando analogie con quella piana, ne differisce per alcune questioni essenziali, quale per esempio: la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore di due retti e minore di sei retti; la differenza ε=α+β+γ-p dicesi eccesso sferico del triangolo sferico. Per la risoluzione dei triangoli sferici si usano alcune relazioni fondamentali. Denotiamo con a, b, c le misure dei lati di un triangolo sferico, espresse in radianti, e con α, β, γ gli angoli a essi rispettivamente opposti. In trigonometria sferica vale un teorema dei seni così enunciato:

Vale anche un teorema dei coseni così enunciato:

cos a=cos b cos c+sen b sen c cos α

formule analoghe si ottengono per sostituzione circolare tra lati e angoli. L'insieme di equazioni cosa=cosb cosc+senb senc cosα sena senβ=senb senα sena cosβ=cosb senc-senb cosc cosα prende il nome di gruppo di Bessel. Sempre nell'ambito della trigonometria sferica è spesso utile considerare le seguenti formule, o gruppi di formule, dette rispettivamente: teorema delle cotangenti ctg b∤sen c=cos c∤cos α+sen α ctg β; ctg a sen c=cos c cos β+sen β ctg α; teorema delle proiezioni sen c cos α= =sen b cos α+sen a cos c cos β; sen c cos b=sen a cos β+sen b cos c cos α; analogie di Napier: