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Hermite, Charles

matematico francese (Dieuze, Lorena, 1822-Parigi 1901). Tra i maggiori matematici del Novecento, ancora studente svolse i primi lavori sulle funzioni abeliane e sulla trasformazione delle funzioni ellittiche. Ha insegnato all'Ècole Polytechnique e alla Faculté des Sciences di Parigi. Ottenne importanti risultati in algebra, in teoria dei numeri e in molti campi dell'analisi stabilendo feconde connessioni tra i metodi trascendenti e quelli algebrici e aritmetici. Risolse l'equazione di 5º grado tramite le funzioni ellittiche; generalizzò al campo delle funzioni l'algoritmo delle frazioni continue e dimostrò (1873) la trascendenza del numero e.

Matrice (detta anche hermitiana) quadrata i cui elementi, simmetrici rispetto alla diagonale principale, siano fra loro complessi coniugati. Da ciò segue che gli elementi della diagonale principale sono reali. É, per esempio, hermitiana la matrice

Il determinante di una matrice hermitiana è sempre reale. Data una matrice hermitiana A, esiste una matrice unitaria M tale che M-1AM sia una matrice diagonale a coefficienti reali. Una matrice M si dice unitaria se la sua inversa è uguale alla sua trasposta.

Un operatore f che opera su uno spazio vettorialeV dotato di prodotto hermitiano definito positivo si dice hermitiano se per ogni coppia di vettoriv, w di V si ha <f(v), w>=, f(w)>. La matrice associata (vedi omomorfismo) a un operatore hermitiano relativamente a una base ortonormale è hermitiana.

Polinomi di grado n, usati per approssimare il valore di funzioni continue in intervalli non compatti; essi sono relativi all'intervallo –¥<x<+¥ e soddisfano l'equazione differenziale y²-2xy¢+2ny=0. I polinomi di Hermite hanno espressione

e intervengono nelle funzioni di Hermite

Dato uno spazio vettoriale V sul campo dei numeri complessi, una legge che associa a ogni coppia v, w di vettori di V un numero complesso, che solitamente viene indicato con <v, w>, si dice prodotto hermitiano su V se verifica le seguenti tre proprietà: A) per ogni coppia di vettori v, w di V si ha

,con si indica il numero complesso coniugato del numero complesso <w, v>. B) Per ogni terna di vettori u, v, w di V si ha <u, v+w>= =, v>+, w>. C) Per ogni coppia u, v di vettori di V e per ogni numero complesso a si ha <au, v>=a,v>. Un prodotto hermitiano su C3, per esempio, è definito dalla legge

Esso è detto prodotto hermitiano canonico di Ca3. Un altro prodotto hermitiano su Ca3 è dato dalla legge <(x, y, z), (x¢, y¢, z¢)>=xx¢+2yy¢+3zz¢+ixy¢-iyx¢+(1+i) xz¢+(1-i) zx¢. Fissata una base {v1,..., vn} di uno spazio vettoriale V dotato di prodotto hermitiano, si definisce matrice associata al prodotto hermitiano relativamente a tale base la matrice quadrata di ordine n avente come elemento della p-sima riga e q-sima colonna il numero complesso <vp, vq>. Tale matrice è hermitiana. Data, per esempio, la base {(1, 0, 0,), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} di C3, la matrice associata al prodotto hermitiano canonico è data dalla matrice avente tutti gli elementi nulli fuorché quelli appartenenti alla diagonale principale che sono uguali a 1. La matrice associata al secondo prodotto hermitiano dato sopra è la matrice data nel sottolemma matrice di Hermite. Per ogni prodotto hermitiano si ha che <v, v> è un numero reale per ogni vettore di V e inoltre <0, 0>=0. Un prodotto hermitiano si dice definito positivo se si ha che <v, v> è un numero positivo per ogni vettore v non nullo di V. Ogni prodotto di Hermite su uno spazio vettoriale di dimensione finita è dotato di una base ortonormale. Una base {v1, ..., vn} si dice ortonormale se si ha che il numero complesso <vp, vq> è uguale a 1 se p=q ed è uguale a 0 se p¹q.