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Definizione

sf. [sec. XIV; dal latino aequāre, uguagliare]. Uguaglianza; particolarmente impiegato in matematica e in alcune altre discipline scientifiche in cui presenta accezioni specifiche. § In filosofia, equazione dell'infinito, espressione usata per definire l'imprevedibilità e inspiegabilità dei fenomeni che la metafisica classica aveva chiamato contingenti. Secondo Bergson, essendo il mondo un insieme infinito di eventi e di forze, nulla può, in ultima analisi, essere spiegato in modo deterministico, perché tutto ciò che accade dipende da un'infinità di fattori, la cui azione non è calcolabile. Ardigò usò l'espressione per definire il caso che in rapporto alle sue cause prossime appare necessario mentre in quelle remote, per l'impossibilità di attingerle sperimentalmente, si configura come contingente.

Matematica: generalità

Uguaglianza tra due espressioni contenenti delle variabili; se l'uguaglianza è sempre soddisfatta, cioè non dipende dal valore delle variabili, l'equazione si dice equazione identica o identità, se è soddisfatta solo da particolari valori delle variabili si parla di equazione in senso proprio. Per soluzione di un'equazione si intende un insieme di valori che sostituiti alle variabili rendano soddisfatta l'uguaglianza; nel concetto di soluzione è essenziale definire l'insieme in cui la si vuol determinare: per esempio, l'equazione x²-2=0 non ha soluzioni tra i numeri razionali, mentre ammette come soluzione nell'insieme dei reali. Due equazioni si dicono equivalenti se ognuna di esse implica l'altra (per esempio, x²-7=2x+1<=>x²-2x-8=0). L'importanza maggiore delle equazioni consiste nella possibilità di rappresentare tramite equazioni (o sistemi di equazioni) leggi o fenomeni fisici (per esempio, le equazioni di Maxwell, l'equazione delle corde vibranti, l'equazione del moto di un corpo, ecc.). La più usata classificazione delle equazioni è quella basata sul tipo di espressioni che vi compaiono; si distinguono in: equazioni algebriche, integrali, differenziali, ecc.

Matematica: equazione algebrica

Equazione equivalente a un polinomio in una o più variabili eguagliato a 0, il cui grado si dice grado dell'equazione. Nel caso di un'equazione algebrica di grado n, in una incognita, a0+a₁x+...+a=0, se f(x) è il polinomio a primo membro dell'uguaglianza, una radice o soluzione sarà un valore α della variabile tale che f(α)=0. Si vede che, in tal caso, il polinomio è divisibile per (x-α); si dice che la radice α ha molteplicità s se f(x) è divisibile per (x-α) e non per (x-α)+1. Perché un'equazione algebrica abbia una radice almeno doppia, condizione necessaria e sufficiente è che si annulli il suo discriminante, cioè l'espressione in cui Π indica che si deve fare il prodotto di tutti i fattori (α)² con j minore di i essendo le α, e quindi le α, le radici dell'equazione data. Indicando con K il campo cui appartengono i coefficienti dell'equazione, è sempre possibile determinare un campo contenente K, detto campo di spezzamento del polinomio f(x), in cui l'equazione algebrica data ammette esattamente n radici (se contata ognuna con la sua molteplicità). Un campo K si dice algebricamente chiuso se ogni equazione algebrica a coefficienti in K ammette n radici in K stesso (contata ognuna con la propria molteplicità). Il teorema fondamentale dell'algebra assicura che il campo complesso è algebricamente chiuso. I coefficienti delle equazioni algebriche sono le funzioni simmetriche elementari delle radici; nel caso reale o complesso le radici sono funzioni continue dei coefficienti; se questi ultimi sono reali le radici sono a coppie complesse e coniugate. Per il teorema di Ruffini-Abel è possibile risolvere l'equazione algebrica generale di grado n per radicali, cioè con operazioni razionali ed estrazioni di radici a partire dai coefficienti, se e soltanto se l'equazione è di grado ≤5. Perché un'equazione di grado qualunque sia risolvibile per radicali, occorre che i coefficienti soddisfino a particolari condizioni precisate da E. Galois (1832). Fra i tipi più semplici di equazioni algebriche si hanno: A) l'equazione di secondo grado, o quadratica, a un'incognita ax²+bx+c=0; le sue radici x₁ e x₂ sono date dalla formula e sono coincidenti o distinte secondo che il discriminante Δ=b²-4ac sia uguale o diverso da zero; nel caso che a, b, c siano numeri reali si hanno radici reali distinte se Δ>0 e radici complesse coniugate se Δ<0. Sussistono le seguenti relazioni tra i coefficienti e le soluzioni: x₁+x₂=-b/a; x₁x₂=c/a. Per il segno delle radici vedi la regola di Cartesio. B) L'equazione di terzo grado, o cubica, a un'incognita ax3+bx²+cx+d=0; con la sostituzione y=x-b/3 si riconduce alla y3+py+q=0; posto

e

le tre soluzioni dell'equazione sono date da

(formula di Cardano). Nel caso che i coefficienti siano numeri reali l'equazione cubica ammette sempre una radice reale. Tra le equazioni algebriche di grado superiore si ricordano l'equazione binomia del tipo x=b le cui soluzioni sono date dalla radice n-esima di b e dai prodotti di questa per le radici n-esime dell'unità, , e l'equazione biquadratica del tipo ax²+bx+c=0 che si riconduce, tramite la sostituzione x=z, alla quadratica az²+bz+c=0 e alle binomie x=z₁ e x=z₂, essendo z₁ e z₂ le soluzioni dell'equazione quadratica. Si dice reciproca un'equazione che, se ammette la soluzione α, ammette anche la soluzione 1/α; sono reciproche le equazioni in cui i coefficienti equidistanti dagli estremi sono uguali e opposti. § Soluzione approssimata di un'equazione algebrica. In molti casi la soluzione algebrica di un'equazione è troppo difficile o addirittura impossibile. Si ricorre allora a metodi approssimati, grafici o numerici. I metodi grafici si basano sul fatto che, esprimendo l'equazione nella forma f(x)=0, le soluzioni sono le intersezioni della curva y=f(x) con la retta y=0, cioè con l'asse delle ascisse. I metodi numerici sono generalmente metodi iterativi che forniscono successioni di numeri convergenti con i valori delle soluzioni. Fra tali metodi, giunti a un alto grado di precisione con l'uso di elaboratori, si ricordano il metodo di iterazione diretta e il metodo di Newton-Fourier. Per entrambi occorre preventivamente individuare successivi intervalli nei quali cadono le soluzioni. Secondo il metodo di iterazione diretta, scritta l'equazione f(x)=0 nella forma F(x)=x, una soluzione a dell'equazione è tale che F(a)=a, punto fisso della funzione F(x). Se nell'intervallo (a, b) è (x)≤K<1, dove K è una costante, per un qualunque valore x0 dell'intervallo, la successione x₁=F(x0), x₂=F(x₁), x₃=F(x₂) ..., in tale intervallo converge ad a. Secondo il metodo di Newton-Fourier, dopo aver individuato l'intervallo (a, b) si costruiscono due successioni aventi come limite la radice cercata. La prima successione è la seguente: , ..., successione monotona il cui limite tende al valore della soluzione cercata; la seconda successione è: , ...

Si può dimostrare che b₁ rappresenta un valore approssimato per eccesso o per difetto della soluzione, secondo che a₁ lo è per difetto o per eccesso e che sia a₁, a₂, ..., a, ..., sia b₁, b₂, ..., b, ... tendano al valore della radice. Per esempio, sia data l'equazione: f(x)≡-x3–2x+5=0, che ha una soluzione compresa fra 2 e 2,1. Ponendo a=2,1 e b=2 si trova: a₁=2,0946, b₁=2,0942, a₂=2,094552, b₂=2,094551, e già con questi valori si hanno sicuramente 5 decimali esatti; proseguendo si trova un valore approssimato con la precisione che si vuole.

Matematica: equazioni trascendenti

Equazioni non riconducibili a un polinomio nell'incognita uguagliato a zero; sono trascendenti, per esempio, le equazioni esponenziali, in cui cioè l'incognita compare a esponente, e le equazioni trigonometriche, in cui l'incognita figura sotto il segno di una funzione trigonometrica. È importante ricordare che in generale il numero delle soluzioni di un'equazione trascendente non è limitato, come nel caso delle equazioni algebriche: per esempio, l'equazione sin x=α ha infinite soluzioni.

Matematica: equazioni funzionali

Equazioni nelle quali l'incognita sia da determinarsi nell'ambito di un insieme di funzioni invece che in un campo numerico; per esempio, l'equazione f(x)+f(y)=f(x+y) per ogni valore di x e y ammette come soluzioni nell'insieme delle funzioni continue della retta reale tutte e sole le funzioni f(x)=kx, con k reale qualsiasi. Tra le più interessanti equazioni funzionali si ricordano le equazioni differenziali e le equazioni integrali. Le equazioni differenziali sono equazioni che legano una o più funzioni incognite con le rispettive derivate, anche parziali, se si tratta di funzioni in più variabili. Prende il nome di equazione differenziale ordinaria se è del tipo f(x, y, , ..., y())=0, dove y=y(x) è la funzione incognita e le y() le sue derivate successive; l'equazione differenziale si dice normale se è della forma y=f(x, y, , ..., y(1)). Le soluzioni dell'equazione differenziale prendono il nome di integrali dell'equazione stessa; in generale il legame espresso dall'equazione differenziale non determina univocamente la soluzione; quindi si cerca di determinare nell'insieme delle soluzioni quelle che verificano condizioni aggiuntive, cioè condizioni iniziali, condizioni al contorno, ecc. Nell'integrale di un'equazione differenziale compaiono infatti in generale delle costanti, in numero uguale all'ordine dell'equazione: sono queste le costanti di integrazione per cui l'integrale, detto integrale generale, non è univocamente determinato. Assegnando alle costanti dell'integrale generale valori particolari si hanno gli integrali particolari dell'equazione differenziale. L'assegnazione dei valori particolari alle costanti corrisponde al fissare le condizioni iniziali nel problema che si traduce nell'equazione stessa. Tuttavia, è da notare che, in generale, non tutte le soluzioni dell'equazione differenziale si possono ottenere assegnando valori determinati alle costanti dell'integrale generale, cioè non tutte le soluzioni si possono ottenere dall'integrale generale. Gli integrali che non si ottengono dall'integrale generale sono detti integrali singolari; un'equazione differenziale può avere oppure non avere integrali singolari. Nel caso di un'equazione differenziale del tipo =f(x,y) si possono rappresentare nel piano x,y l'insieme delle curve, dette curve integrali, che ne rappresentano tutti gli integrali; una curva integrale ha espressione y=y(x). Se la funzione f(x,y) è definita in tutto il piano, allora per ogni punto del piano passa una curva integrale; se esistono punti del piano in cui tale funzione non è definita, detti punti singolari dell'equazione differenziale, allora per tali punti si possono verificare diverse possibilità che condizionano profondamente l'andamento delle curve integrali dell'equazione: per un punto singolare possono, per esempio, passare tutte le curve integrali oppure può non passarvene nessuna, oppure ancora possono tendervi asintoticamente tutte. § Per integrare in via approssimata un'equazione differenziale del tipo =f(x,y), si può sostituire in ogni punto, alla soluzione esatta, la tangente che ha appunto pendenza f(x,y). In altri termini, si può costruire la soluzione tracciando in ciascun punto un segmento orientato e con tale pendenza e ottenere così una poligonale che costituisce un'approssimazione grafica della soluzione; essa è tanto più approssimata quanto più piccolo è l'incremento costante Δx assegnato alla x per scegliere i punti dai quali far partire i suddetti segmenti. Questo metodo è applicabile solo quando si ha unicamente interesse all'andamento generale della soluzione. Risulta più conveniente la costruzione del fascio di isocline, cioè del fascio di curve definito dall'equazione f(x,y)=k, in cui a ogni valore di k corrisponde una curva del fascio; queste curve prendono tale nome in quanto costituiscono i luoghi di punti a tangente costante. La poligonale di cui sopra si potrà facilmente costruire, a partire da un punto P0 di coordinate x0, y0, corrispondenti alle condizioni iniziali del problema. Si traccia un segmento di tangente con il primo estremo in P0 e con pendenza uguale al valore k che caratterizza la curva prescelta; il secondo estremo P₁ del segmento sta sull'isoclina successiva. Quindi, dal punto P₁ si traccia un nuovo segmento con pendenza uguale a quella della tangente in P₁ e così via sino a che si sono incontrate tutte le isocline dell'intervallo nel quale si vuole costruire la soluzione. § Diamo alcuni esempi di equazioni differenziali: A) equazione generale lineare a coefficienti costanti è del tipo a+a-1y-1+...a₁y+a0=b; se b=0 si dice omogenea; considerata l'equazione algebrica a+a-1x-1+...a₁x+a0=0 (equazione caratteristica), da ogni sua radice α di molteplicità s si deducono gli s integrali dell'omogenea: , se α è reale; da ogni coppia, invece, di radici complesse coniugate, α±, di molteplicità s, si ottengono i 2s integrali ottenendo così in tutto n-integrali linearmente indipendenti dell'equazione omogenea; ogni integrale dell'omogenea è dato da combinazioni lineari di questi; l'integrale generale dell'equazione completa è la somma di un integrale particolare della stessa con l'integrale generale dell'omogenea. B) Equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili è del tipo ; definisce implicitamente y=y(x, c). § Esistono particolari tipi di equazioni differenziali di cui si conosce la soluzione e che hanno grande importanza per i problemi fisici e tecnici che in esse si traducono, quali per esempio, l'equazione di D'Alembert, l'equazione di Bernoulli, l'equazione di Clairaut, le equazioni di stato della termodinamica, ecc. Nel campo delle equazioni integrali hanno importanza le equazioni di Volterra e le equazioni di Fredholm.

Economia

Nell'economia aziendale sono note diverse equazioni che costituiscono il referente analitico di quanto viene indicato per mezzo dei metodi contabili. Si hanno: equazioni generali (economica, del fabbisogno finanziario, di cassa, degli accertamenti e impegni a medio e lungo termine) ed equazioni particolari a breve termine. La condizione di minima economicità dell'impresa, cioè il conseguimento di una quantità di reddito che rimuneri i fattori produttivi e l'opera dell'imprenditore, può essere efficacemente espressa da un'equazione economica della produzione, formulata, nel lungo periodo, in rapporto al minimo rendimento dell'esercizio medio o tipico. Essa però presuppone la risoluzione del problema tecnico della combinazione dei vari fattori produttivi, per la pratica realizzazione del prodotto. Un'altra equazione generale determina il fabbisogno di finanziamento necessario per la concreta attuazione del processo produttivo ed è detta equazione del finanziamento della produzione (o del fabbisogno finanziario). Anche se il capitale necessario non è completamente disponibile all'inizio dell'attività, può essere gradualmente raccolto con l'espansione dell'attività aziendale e scaglionando nel tempo i piani produttivi. È però necessario preoccuparsi delle punte massime del fabbisogno di capitale. In pratica l'equazione del finanziamento determina le varie condizioni per le quali i diversi finanziamenti s'innestano nel ciclo produttivo. Anche l'andamento propriamente finanziario e monetario può essere controllato, nel medio e lungo periodo, mediante le equazioni finanziarie di cassa e l'equazione relativa agli accertamenti e impegni (crediti e debiti). Quest'ultima esigenza si manifesta anche nel breve periodo, data la necessità di tenere sempre presente il problema della liquidità nella gestione aziendale. Per la verifica e il controllo del funzionamento concreto dell'impresa si possono considerare varie equazioni particolari, a breve termine: l'equazione della cassa (giornaliera e di breve periodo), degli accertamenti e degli impegni, dell'andamento economico, delle configurazioni del capitale alla fine del periodo d'esercizio o di dati periodi brevi. In generale, le equazioni possono essere distinte secondo che rientrino nel ramo monetario (per esempio equazione dello scambio) o in quello economico e rispetto al tempo cui si riferiscono, cioè a periodi lunghi o a periodi brevi.

Bibliografia

F. Tricomi, Funzioni speciali, Torino, 1959; G. Zappa, E. Permutti, Gruppi, corpi, equazioni, Milano, 1965; V. I. Arnold, Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, Roma, 1989.