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La fisica moderna

Il limite e la derivata di una funzione

L'operazione di limite per una funzione di una variabile y = f(x ), costituisce la base del calcolo infinitesimale. Il limite di una funzione si ottiene facendo tendere la variabile indipendente x a un valore limite x0, che può essere finito o infinito. In particolare, il limite è rappresentato da quel valore in corrispondenza del quale cadono tutti i valori della funzione f(x), quando x assume valori sempre più prossimi a x0. La simbologia utilizzata per indicare questa operazione è:

e si legge: limite di f(x) per x che tende a x0.

Se si considera ora un valore di x prossimo a x0, e lo si indica con x0+h, dove h è una quantità molto piccola, ma mai nulla, geometricamente la quantità:

rappresenta la pendenza della retta che, in un piano cartesiano, interseca il grafico di y = f(x) nei punti di coordinate A=(x0, f(x0)) e B=(x0+h, f(x0+h)). Eseguendo il limite di tale quantità, il punto B tende ad avvicinarsi al punto A, lungo la curva del grafico di y = f(x) e la retta tende ad assumere la posizione della tangente in A della curva.

Il limite della quantità scritta sopra rappresenta la derivata di f(x) nel punto x0 e viene indicata col simbolo f' (x0):

Il significato geometrico della derivata è dato dall'inclinazione sull'asse delle ascisse della retta tangente alla curva nel punto considerato.

Più in generale, la derivata di una funzione f(x) rappresenta una funzione della variabile x, che assume in ciascun punto il valore della derivata della funzione f(x) in quel punto, e viene indicata con il simbolo:

Poiché la derivata di una funzione è essa stessa una funzione, è possibile applicare più volte il concetto di derivata alla derivata stessa, ottenendo così le derivate di ordine superiore: la derivata seconda di una funzione y = f(x) risulta quindi, per esempio, la derivata della sua derivata e si scrive:

Dall'analisi matematica risultano note alcune regole per il calcolo delle funzioni più comuni e delle loro composizioni.

Le derivate parziali

Per una funzione di più variabili, per esempio una funzione delle tre variabili spaziali x, y e z, scritta come y = f(x, y, z), si definiscono le derivate parziali rispetto a una delle variabili come le derivate della funzione della sola variabile considerata, ottenuta tenendo fissi i valori delle altre variabili. Per esempio, la derivata parziale di f(x, y, z) rispetto alla sola variabile x si ottiene facendo il limite del rapporto incrementale del valore della funzione per x che tende a x0, tenendo fissi i valori di y e z, e analogamente per le altre due variabili, e si scrive usando la terminologia rispettivamente per le derivate parziali della funzione rispetto a x, rispetto a y e rispetto a z:

Analogamente, se una grandezza fisica risulta anche funzione del tempo, oltre che di una o di tutte le variabili spaziali, si può definire la derivata parziale rispetto al tempo della funzione che rappresenta la grandezza, tenendo fisse le variabili spaziali.

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