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geometrìa differenziale

branca della geometria che riguarda la descrizione delle situazioni geometriche con i metodi dell'analisi infinitesimale. Suo oggetto fondamentale di studio sono le curve e le superfici dello spazio euclideo tridimensionale. Le curve, in geometria differenziale, vengono generalmente rappresentate parametricamente, cioè nella forma: x(i=1, 2, 3), in cui x₁, x₂, x₃ sono le coordinate cartesiane di un punto P che descrive la curva e t è un parametro reale, variabile in un intervallo chiuso; la rappresentazione è continua e differenziabile. Una stessa curva può avere diverse rappresentazioni parametriche, per esempio, la retta può essere data nella forma x e nella forma x=a3+bi(i=1, 2, 3); in questo caso t e τ percorrono l'intero asse reale. Si dice che un parametro t è regolare o ammissibile rispetto alla curva C, se questa ammette la rappresentazione parametrica x)=f(t), (i=1, 2, 3), dove t varia in un intervallo chiuso, J, dell'asse reale e le funzionif) sono differenziabili con continuità r volte in J, per ogni t di J, le derivate delle funzioni f(t) non sono contemporaneamente nulle. Si definisce, pertanto, regolare una curva se essa ammette almeno una rappresentazione con un parametro regolare. Spesso per lo studio di una curva C è opportuno ricorrere alla sua rappresentazione vettoriale:

essendo O, i, j, k, rispettivamente il punto origine e i tre versori (cioè vettori unitari con origine in O e direzione e verso degli assi) di un riferimento cartesiano ortogonale. Se fissiamo un punto P0=P(t0)∊C, la misura con il segno dell'arco P0P di C si chiama ascissa curvilinea di P(t) rispetto all'origine P0 e si indica con s(t). La misura di s(t) vale:

essendo (z) la derivata di xi(z) rispetto a z. Per ogni curva regolare, l'ascissa curvilinea s può assumersi come parametro regolare, dato che ds/dt>0, in conformità alla definizione di parametro regolare. Assunta per la curva C la rappresentazione regolare x=x(s)(i=1, 2, 3), si definisce curvatura di C nel punto P=P(s), il numero reale:

Per raggio di curvatura s'intende il numero R=1/c, se c≠0. Per esempio, la retta x=at+b ha ascissa curvilinea . Dato inoltre che d²x/ds²=0, la curvatura della retta è nulla in ogni punto. In ogni punto P(s) di una curva C, data in forma parametrica, possono considerarsi tre vettori unitari o versori: il versore tangente, t, avente componenti ; il versore normale, n, avente componenti , essendo c la curvatura in P(s) di C; e infine il versore binormale, b, perpendicolare tanto a t che a n e avente il verso di una vite che gira in senso orario. Questi tre versori determinano il cosiddetto triedro principale della curva C nel punto P(s). Tale triedro va considerato particolarmente utile, perché in moltissimi casi lo studio di una curva si effettua più facilmente se si considera il riferimento cartesiano dato proprio dal punto P(s) e dai tre versori t, n, b. I piani identificati da p e n, t e b, n e b vengono chiamati rispettivamente osculatore, normale, rettificante. Tale riferimento è detto mobile perché varia al variare del punto P(s) sulla curva. Definita la torsione τ(s) di una curva C nel punto P(s) come il prodotto scalare del versore n per il derivato del versore b rispetto a s, si hanno le seguenti formule di Frenet, che esprimono i legami tra i suddetti versori, la curvatura e la torsione di una curva:

La torsione di una curva piana è nulla: intuitivamente, la torsione misura il discostamento dal piano osculatore mentre la curvatura misura lo scostamento dalla tangente. Lo studio delle superfici si svolge in maniera analoga a quello delle curve; ora però intervengono funzioni di due variabili. Anche le superfici, al pari delle curve, vengono rappresentate parametricamente, cioè nella forma: x=x(u₁, u₂)=f(u₁, u₂) (i=1, 2, 3); dove (u₁, u₂) sono le coordinate di un punto variabile in un dominio chiuso e limitato, G, di un piano; si richiede che la rappresentazione data sia biunivoca e bicontinua tra l'insiemeG e l'insieme immagine delle f. Una rappresentazione parametrica di una superficie si dice regolare se le funzioni f(u₁, u₂) sono r volte differenziabili con continuità e la matrice funzionale

è ovunque di rango 2. La rete delle coordinate generata sulla superficie x(u₁, u₂) dalle curve u₁=cost. e u₂=cost., si chiama sistema gaussiano di coordinate. Lo studio delle superfici è in gran parte condotto sulle curve che giacciono sopra di esse. Queste possono venire rappresentate in due modi: con coordinate superficiali, u₁=z₁(t), u₂=z₂(t) con (t0≤t≤t₁); e coordinate spaziali x=[z₁(t), z₂(t)]=f(t) con (t0≤t≤t₁). Sia C una curva tracciata sulla superficie S. La tangente a C nel punto P(t) è determinata dal vettore di componenti (dx₁/dt, dx₂/dt, dx₃/dt). Si definisce allora piano tangente alla superficie nel punto P, nel quale i parametri u₁ e u₂ sono regolari, la totalità delle tangenti nel punto P alle curve della superficie passanti per il punto P. Ripetendo considerazioni che abbiamo precedentemente formulato per le curve, la lunghezza di un arco di una curva, rappresentata in coordinate superficiali o in coordinate spaziali, è

Il passaggio dal 1º al 2º membro si effettua in base a un teorema sulla derivazione delle funzioni composte. Ponendo:

dove μ=1,2; ν=1,2, il secondo membro diventa

Il radicando può scriversi

λ₁, λ₂ due parametri reali. Quest'ultima espressione si chiama la prima forma quadratica fondamentale della superficie; essa è definita positiva e il suo discriminante vale ed è sempre positivo.