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matemàtica

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Lessico

sf. [sec. XVI; dal latino mathematíca (ars), da mathematícus, matematico].

1) Genericamente, scienza dei numeri. Il termine matematica significò, dall'antichità fino a tutto il Medioevo, la scienza dei numeri, delle figure geometriche e delle grandezze. La matematica veniva perciò classificata in aritmetica, geometria piana e solida, teoria delle grandezze e dei loro rapporti; a questa classificazione corrispondono grosso modo le quattro arti liberali del Quadrivio (aritmetica, musica, geometria, astronomia) che costituirono durante il Medioevo il complesso di discipline scientifiche, contrapposte, su un piano di pari dignità, alle discipline letterarie del Trivio (grammatica, retorica, logica). In seguito all'enorme sviluppo delle matematiche dal Rinascimento in poi (e soprattutto ai nostri giorni), la definizione della matematica come scienza dei numeri, delle grandezze e delle figure non è più sostenibile. L'unica definizione accettabile è quella che cerca di cogliere la matematica nel suo sviluppo storico e di giustificare le profonde trasformazioni avvenute in seno a essa nel corso dei secoli. Un'ampia trattazione di questo sviluppo è data alle voci algebra, analisi, aritmetica, geometria.

2) Per estensione, la disciplina scolastica che riguarda tale scienza; anche il relativo corso di studi.

Cenni storici: dalle origini all'Ottocento

Il problema dei fondamenti della matematica è stato presente sin dall'antichità e in questo senso la problematica relativa va inquadrata nella più ampia teoria della conoscenza. Ma nel sec. XIX il sorgere delle geometrie non-euclidee, da una parte, e la tendenza dei matematici di quel secolo a rendere sempre più rigorose aritmetica e analisi, dall'altra, determinarono un nuovo interesse e una più approfondita impostazione per il problema dei fondamenti della matematica che non investivano più semplicemente il problema dell'inserimento di questa scienza in un contesto filosofico più ampio, ma lo stesso operare matematico. Le esigenze di maggior rigore verso l'aritmetica e l'analisi si traducevano nella necessità di una loro assiomatizzazione e nell'utilizzazione dei concetti della teoria dei numeri naturali quale base per definire i concetti dell'aritmetica e dell'analisi. Veniva così in primo piano il problema di giustificare i principi e gli asserti della matematica in modo rigoroso; si trattava cioè di rendersi conto di cosa si intendeva quando si affermava che certi principi erano evidenti, di esplicitare le motivazioni per cui principi non completamente evidenti venivano accolti e di trovare e quindi abbandonare quei principi che non si potevano giustificare. Concorreva al nuovo atteggiamento verso la matematica la fine del predominio della geometria, dovuta al venir meno del carattere assoluto e descrittivo dei suoi assiomi e alla riformulazione su basi astratte di nozioni, come quelle di continuità e di numero reale, in precedenza formulate su basi geometriche. Si delineavano così verso la fine del secolo due posizioni contrastanti. Da una parte stavano i lavori di R. Dedekind, la teoria degli insiemi di G. Cantor, il tentativo di G. Frege di fondare la matematica su basi puramente logiche. Dall'altra stava L. Kronecker e la sua concezione costruttivistica della matematica. Per Dedekind, Cantor, ecc. era possibile considerare come matematicamente sensata ogni nozione specificabile in termini della teoria astratta degli insiemi (si pensi alla teoria dei cardinali e degli ordinali di Cantor, a quella degli ideali di Dedekind); per Kronecker, al contrario, tutti questi sviluppi erano privi di senso, meri giochi verbali, in quanto non era possibile per tutte queste teorie fornire una traduzione in termini di proprietà di numeri naturali.

Cenni storici: il Novecento

Agli inizi del sec. XX, la scoperta delle antinomie poneva in luce come le nozioni di classe e di insieme, che stavano alla base dei tentativi di fondazione di Cantor e di Frege, portavano a delle contraddizioni se impiegate senza restrizioni. Si apriva così la crisi dei fondamenti in quanto veniva posta in discussione sia la ricostruzione su basi logiche della matematica, operata da Frege, sia la fondazione cantoriana di una matematica astratta imperniata appunto sulla nozione di insieme. Le ricerche si volsero allora ad affrontare quelli che erano i problemi sollevati dalle antinomie e a una loro eventuale eliminazione, senza peraltro conseguire risultati soddisfacenti. Emergevano allora tre filoni principali di ricerca il cui punto di contatto può individuarsi nel tentativo di evitare quelle assunzioni che comportavano l'emergere delle antinomie. Essi erano: il logicismo, che soprattutto per opera di B. Russell riprese il programma di Frege superando le antinomie con la costruzione della teoria dei tipi; l'intuizionismo, propugnato da L. E. J. Brouwer, che riprendendo le riserve di Kronecker si pose il compito di costruire una matematica per molti versi diversa da quella tradizionale e fondata sul concetto di costruzione mentale (definita passo per passo); il formalismo, il cui maggiore esponente negli anni Venti fu D. Hilbert, che cercò sulla base del concetto di sistema formale di giustificare su base finitista la matematica classica. § Ma anche questi tentativi di trovare una soluzione definitiva ai problemi dei fondamenti della matematica furono frustrati dalla scoperta del teorema di incompletezza di K. Gödel (1931). Questo risultato poneva fine ai programmi generali di fondazione della matematica nel senso della dimostrazione matematica (formale) della non contraddittorietà di teorie formali. La ricerca sui vari temi in essi contenuti continuò e si può constatare come nella ricerca logica posteriore al 1930 il problema dei fondamenti passi sullo sfondo, senza però dissolversi. In particolare, le antinomie della teoria degli insiemi sono superate in modo soddisfacente dalle teorie assiomatiche di Zermelo-Fraenkel e di von Neumann-Bernays.

Bibliografia

S. C. Kleene, Introduction to Metamathematics, Amsterdam, 1952; A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, Foundations of Set Theory, Amsterdam, 1958; E. W. Beth, I fondamenti logici della matematica, Milano, 1963; W. e M. Kneale, Storia della logica, Torino, 1972; W. Dunham, Viaggio attraverso il genio, Bologna, 1992; L. Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, Roma, 1992.