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Poincaré, Jules-Henri

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Biografia

Matematico e filosofo della scienza francese (Nancy 1854-Parigi 1912). Dal 1881 insegnò alla Sorbona fisica-matematica e meccanica celeste. Autore fecondissimo, lasciò più di 500 scritti di argomento scientifico oltre alle opere di epistemologia e divulgazione. Nel 1889 conseguì il premio internazionale promosso dal re di Svezia, Oscar II, con una memoria dal titolo: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique (Sul problema dei tre corpi e le equazioni della dinamica). Le sue indagini si accentrarono soprattutto sulla matematica di cui studiò le applicazioni alla meccanica, alla fisica e all'astronomia. Tra i suoi maggiori meriti vi è la scoperta di un nuovo tipo di funzioni che chiamò fuchsiane (generalizzazioni delle funzioni ellittiche) e lo studio dei gruppi discontinui che chiamò kleiniani. Importanti inoltre i risultati da lui ottenuti nel calcolo delle probabilità e nella teoria dei numeri. Si dedicò anche ai fondamenti della geometria (famoso un suo modello del piano non-euclideo iperbolico) e fondò la moderna topologia combinatoria. Nel campo della fisica si occupò in particolare di elettrodinamica (teoria di Maxwell): diede per primo una teoria coerente dell'oscillatore di Hertz e anticipò uno dei postulati della relatività ristretta. Nell'ambito dell'astronomia e della meccanica celeste si deve a Poincaré la teoria sulle origini dei satelliti, secondo la quale essi deriverebbero dal corpo del pianeta. Negli ultimi anni della sua vita si occupò attivamente di filosofia della scienza. Di fronte al carattere manifestamente dogmatico assunto, nelle sue ultime fasi, dalla cultura positivistica, Poincaré cercò di ritornare al significato autentico del positivismo, cioè a uno studio critico approfondito della conoscenza scientifica. La precisa analisi dell'origine delle proposizioni fondamentali della scienza lo condusse alla conclusione che la scienza è una libera costruzione dell'uomo e ha i caratteri della convenzionalità e dell'aprioristicità. Sul suo pensiero, come risulta dalla stessa denominazione “convenzionalismo”, con cui suole essere indicato, si sono spesso creati grossi equivoci. In realtà, alla consapevolezza di non poter più mantenere in vita la vecchia interpretazione dogmatica delle teorie scientifiche come specchio fedele della realtà si unì in Poincaré la consapevolezza del pericolo di giungere, attraverso questo abbandono, a un'interpretazione meramente soggettivistica dell'intera scienza. Poincaré si espresse più volte contro ogni tentativo di confondere la convenzionalità e l'arbitrarietà o di sfruttare lo spirito critico acquisito dall'epistemologia moderna per sostenere l'ambigua tesi del fallimento della scienza e rivendicò alla scienza un valore non solo pratico ma conoscitivo.

Caratteristica di Euler-Poincaré

Generalizzazione, introdotta da Poincaré nel 1899, della caratteristica di Eulero di un poliedro al caso di varietà n-dimensionali.

Congettura di Poincaré

Ogni varietà tridimensionale chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a una sfera tridimensionale. La congettura di Poincaré, avanzata nel 1904, ha la seguente generalizzazione (congettura di generalizzata): ogni varietà chiusa di dimensione n omotopicamente equivalente a una sfera di dimensione n è omeomorfa a essa. Tale affermazione è stata dimostrata per dimensioni n maggiori o uguali a 5 nel 1960 da S. Smale, che per questo ha vinto la medaglia Fields del 1966. È stata data anche la dimostrazione per n=4. Pubblicata dal matematico statunitense M. Freedman nel 1982, gli ha fruttato nel 1986 la medaglia Fields. Nel 2000, alla soluzione della congettura nella forma originaria (n=3) è stato assegnato un premio di un milione di dollari. Nel 2002 il matematico russo G. Perelman ha proposto una sua dimostrazione che, però, per la grande complessità, ancora nel 2004 era al vaglio dei matematici incaricati di controllarla.

Dualità di Poincaré

Una varietà chiusa orientabile di dimensioni n ha, per ogni intero q, il q-esimo gruppo di omologia isomorfo al (n-q)-esimo gruppo di coomologia. Questo teorema è stato dimostrato, in forma incompleta, da Poincaré nel 1895. Esiste una generalizzazione al caso delle omologie e coomologie relative detta dualità di Poincaré-Lefschetz.

Sfera di Poincaré

Spazio introdotto da Poincaré nel 1881, ottenuto da una sfera bidimensionale identificandone i punti diametralmente opposti. Tale spazio è diffeomorfo al piano proiettivo reale.

Teorema di Poincaré-Brouwer

Non esiste alcun campo di vettori su una sfera di dimensione pari che non abbia punti singolari. In dimensione 2 questo teorema viene spesso chiamato teorema della palla pettinata. Esso infatti afferma che, data una palla con capelli, non è possibile pettinare la palla con continuità. Il teorema in dimensione 2 è stato dimostrato da Poincaré nel 1881 e, successivamente, da L. E. J. Brouwer in dimensione n, per qualsiasi numero n pari.

Teorema di Poincaré-Birkoff

Sia data una corona circolare A delimitata da due circonferenze C e e sia data una funzione f di A in A tale che conservi l'area e ruoti in senso orario i punti della circonferenza C e in senso antiorario i punti della circonferenza . Allora esistono due punti di A che vengono mantenuti fissi dalla funzione f. Poincaré ha spedito alla rivista Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo la dimostrazione di alcuni casi particolari di questo teorema nel 1912, dieci giorni prima della sua morte. L'anno successivo G. Birkoff ha dimostrato il teorema nel caso generale.

Bibliografia

A. Cecchini, Il concetto di convenzione matematica in Henri Poincaré, Torino, 1951; T. Dantzig, J.-Henri Poincaré: Critic of Crisis, New York, 1954; A. Bellivier, Henri Poincaré ou la vocation souveraine, Parigi, 1956; J. A. Gould, The Origin of Poincaré's Conventionalism, in “Revue Internationale de Philosophie”, 1960-61; C. Scribner jr., Henri Poincaré and the Principle of Relativity, in “American Journal of Physics”, 1964; J. J. A. Mooij, La philosophie des mathématiques de Henri Poincaré, Parigi, 1966; R. Mc Cormmach, Henri Poincaré and the Quantum Theory, in “ISIS”, 1967; S. Goldberg, Poincaré's Silence and Einstein's Relativity: the Role of Theory and Experiment in Poincaré's Physics, in “British Journal for the History of Science”, 1970; F. Redgrave, Jules-Henri Poincaré, an Introduction to His Work, Londra, 1987.