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Riemann, Georg Friedrich Bernhard

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matematico tedesco (Breselenz, Hannover, 1826-Selasca, Lago Maggiore, 1866). Figlio di un pastore luterano, entrò nel 1846 all'Università di Gottinga e dopo aver seguito i corsi di teologia si dedicò allo studio della matematica con C. F. Gauss; successivamente (1847) a Berlino, studiò con P. G. L. Dirichlet, K. Jacobi e J. Steiner. Tornato a Gottinga, si interessò di questioni di fisica con W. Weber, studi a cui tornò a più riprese anche negli anni successivi, in particolare sull'elettrodinamica e sulla conduzione del calore. Si laureò nel 1851 con la tesi Sulla teoria generale delle funzioni di variabile complessa. Sempre a Gottinga, divenne libero docente con la presentazione della memoria Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria (1854). Professore straordinario nel 1857, due anni dopo succedette a Dirichlet nella cattedra di matematiche superiori. Di salute cagionevole, fece tre viaggi in Italia alla ricerca di climi più miti e fu a lungo a Pisa presso l'amico E. Betti. L'opera matematica di Riemann raggiunse risultati fondamentali; già nella sua dissertazione di laurea Riemann espose una nuova teoria delle funzioni di variabile complessa rappresentabili su una superficie composta da più piani sovrapposti (superficie riemanniana); le relazioni introdotte fra la teoria delle funzioni e la teoria delle superfici gettarono le basi della topologia. In seguito queste considerazioni condussero Riemann ad affrontare nella forma più generale le funzioni abeliane. Gli si devono inoltre studi sulla teoria dei numeri, sulle funzioni di variabile reale rappresentabili mediante serie trigonometriche e l'esposizione rigorosa del concetto di integrale definito (integrale secondo Riemann). Nella già citata memoria del 1854 (pubblicata postuma nel 1867), Riemann introdusse il concetto di metrica di uno spazio e studiò le superfici a curvatura costante, positiva, nulla o negativa, giungendo nel caso della curvatura positiva a una geometria non euclidea di tipo ellittico (geometria di ). I concetti esposti in questa memoria fornirono a Einstein validi punti di partenza per l'elaborazione di un modello per lo spazio-tempo, il cronotopo. Per il simbolo P di vedi ipergeometrico.

Funzione zeta e congettura di Riemann

Funzione olomorfa, , di eccezionale importanza nello studio della distribuzione dei numeri primi, definita in tutto il piano complesso z; permette di determinare il numero dei numeri primi che sono minori di un numero dato. La congettura di relativa agli zeri della funzione zeta afferma che questi si trovano tutti su un'unica retta. Alla dimostrazione della congettura è stato legato nel 2000 un premio di un milione di dollari. Dopo innumerevoli tentativi di dimostrazione, prima del 2004 la congettura era stata dimostrata considerando un miliardo e mezzo di soluzioni (zeri), ma non per tutti gli infiniti zeri della funzione e quindi non in generale. Una dimostrazione completa della congettura in 23 pagine è stata pubblicata nel sito Internet della Purdue University dell'Indiana, Stati Uniti, nel giugno del 2004, da parte di Louis De Branges de Bourcia, professore di matematica di quell'università, ma la verifica della sua validità è molto complessa.

Geometria di Riemann

Geometria non euclidea, del tipo ellittico, nella quale non esistono rette parallele.

Integrale di Riemann

Nome dato da alcuni autori all'integrale di Mengoli-Cauchy in virtù del fatto che Riemann stabilì una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile secondo Mengoli-Cauchy.

Superficie di Riemann

Superficie (detta anche riemanniana), composta da più fogli piani, atta a rappresentare una funzione di una variabile complessa. Per estensione, superficie di Riemann di una curva algebrica f(x, y)=0, pensata nel piano complesso, è una superficie reale che dal punto di vista topologico risulti omeomorfa alla curva data. Tale concetto si generalizza subito considerando varietà algebriche immerse in spazi complessi, pervenendo così alla definizione di varietà di , o varietà riemanniana.

Tensore di Riemann

Tensore quadruplo individuante le curvature dello spazio e annullantesi soltanto negli spazi euclidei.