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Descrizione generale

Agg. (pl. m. -ci) [sec. XX; da quanto (sostantivo)]. In fisica, relativo ai quanti. Le teorie interpretano fenomeni atomici e subatomici le cui descrizioni e spiegazioni non sono possibili con i modelli teorici proposti dalla meccanica e dall'elettromagnetismo classici. La parte fondamentale di queste teorie è la meccanica , le cui basi concettuali e la cui elaborazione risalgono al periodo tra il 1923 e il 1927; negli anni successivi fu sviluppata sempre con maggior ampiezza e applicata con successo in tutti i campi della fisica atomica. Essa si presentò agli inizi sotto due aspetti in apparenza diversi, ideati indipendentemente e quasi contemporaneamente l'uno da L.V. de Broglie (meccanica ondulatoria) e l'altro da W. Heisenberg (meccanica delle matrici), i quali conducevano a identici risultati nei problemi a cui venivano applicati. E. Schrödinger dimostrò che i due metodi erano matematicamente equivalenti. Successivamente, per opera di E.P. Jordan e P.A.M. Dirac la meccanica quantistica ricevette una formulazione molto più generale, in cui la meccanica ondulatoria e quella delle matrici rientravano come casi particolari. Il principio di corrispondenza tra meccanica classica e meccanica quantistica della teoria di N.H.D. Bohr venne precisato da P. Ehrenfest con un teorema che si basa sulle leggi della meccanica quantistica; l'introduzione dei concetti relativistici nelle teorie quantistiche determinò un successivo ampliamento e approfondimento delle stesse.

Fisica: meccanica delle matrici e ondulatoria

La meccanica delle matrici, elaborata da W. Heisenberg, M. Born e Jordan, associa a ogni grandezza fisica una matrice, per cui le equazioni del movimento delle particelle risultano in forma matriciale. La meccanica ondulatoria è fondata sulle ricerche di de Broglie, che attribuì alla materia un carattere ondulatorio e associò a ogni particella di impulsop ed energiaE un'onda monocromatica di frequenza ν=E/h e di lunghezza d'onda λ=h/p, dove h è la costante di Planck. Le esperienze di C.J. Davisson e L.H. Germer (1927), di G.P. sir Thomson e G.P. Rupp (1928) sulla diffrazione degli elettroni e quelle di O. Stern sulla diffrazione degli atomi di elio e delle molecole di idrogeno confermarono le ipotesi di de Broglie. Schrödinger sviluppò la meccanica ondulatoria generalizzando il concetto di onda associata a una particella e formulando l'equazione che sta alla base della meccanica quantistica e che da lui prende il nome. Nella teoria di Schrödinger il moto di un punto materiale è descritto come il propagarsi di un gruppo d'onde analiticamente rappresentato da una grandezza scalare complessa ψ (x, y, z; t), detta funzione d'onda, soluzione dell'equazione temporale di Schrödinger. Secondo l'interpretazione di Born il quadrato dell'ampiezza dello scalare ψ, in un dato punto dello spazio e in un dato istante, dà la misura della densità di probabilità che il corpuscolo ha di trovarsi in quel dato istante in quel punto. A questa interpretazione probabilistica si arrivò grazie all'acuta critica mossa da Heisenberg ai concetti della meccanica classica sostanzialmente contenuta nel principio da lui enunciato e noto come principio di indeterminazione. L'analisi di Heisenberg dei diversi metodi di misurazione delle grandezze relative a una particella portò a definire il concetto di complementarità tra grandezze fisiche. La contraddizione tra ipotesi quantistica e ipotesi ondulatoria della luce viene superata nella teoria quantistica dando alle grandezze che intervengono nell'ottica ondulatoria una nuova interpretazione: la funzione intensità luminosa I che si calcola con le equazioni dell'ottica ondulatoria rappresenta, per esempio, la densità di probabilità che un fotone arrivi in un particolare punto.

Fisica: equazione di Schrödinger

A ogni corpuscolo nella meccanica quantistica viene associato un gruppo d'onde caratterizzato da una grandezza vibrante ψ, detta anche onda di probabilità, che soddisfa l'equazione temporale di Schrödinger:

dove Δ2 è l'operatore di Laplace, m è la massa del corpuscolo, h è la costante di Planck, U è la funzione potenziale del campo di forze in cui si muove la particella. Per integrare l'equazione temporale di Schrödinger si possono separare le variabili spaziali da quella temporale e si ottiene l'equazione di Schrödinger degli stati stazionari:

ponendo ψ(x, y, z; t)=u(x, y, z)φ(t) e dove W è un parametro che dipende dall'energia della particella. L'equazione degli stati stazionari è un'equazione differenziale del 2º ordine e ammette soluzioni solo per determinati valori di W (W, W,..., Wn,...) che diconsi autovalori; le soluzioni corrispondenti u, u,..., un,... diconsi autofunzioni. L'esistenza di una successione di autovalori mostra come in un sistema atomico l'energia W può assumere solo una successione discreta o continua di valori che costituiscono i cosiddetti livelli energetici. L'esistenza di questi livelli viene dedotta come conseguenza del complesso di condizioni che si impongono alla funzione ψ perché essa sia ritenuta una soluzione accettabile dell'equazione di Schrödinger. Si può osservare un'analogia formale tra l'equazione degli stati stazionari che può essere riscritta nella forma

e il teorema classico della conservazione dell'energia meccanica:

dove m è la massa, H è l'hamiltoniana del sistema, px, py, pz sono i momenti coniugati alle variabili x, y, z. Se nell'ultima equazione si sostituiscono materialmente le variabili px, py, pz con gli operatori hermitiani

il primo membro si muta nell'operatore che è applicato alla un; si può così dire che l'equazione di Schrödinger degli stati stazionari si ottiene trasformando l'hamiltoniana H in un operatore H mediante la sostituzione precedente e ricercando gli autovalori e le autofunzioni di questo operatore hermitiano mediante la H un=Wnun. Analogamente l'equazione temporale di Schrödinger si può scrivere: e la si ottiene dall'equazione classica della conservazione dell'energia H=E, sostituendo H con l'operatore H ed E con - e applicando gli operatori ottenuti alla ψ.

Fisica: principio generale della meccanica quantistica

Determinati con l'equazione degli stati stazionari i possibili valori dell'energia di un sistema, se ne può sviluppare la funzione di stato ψ in serie (o in integrale) delle autofunzioni un e i coefficienti an dello sviluppo sono tali che il loro quadrato rappresenta la probabilità che una misura dell'energia del sistema dia come risultato Wn. In generale, a ogni osservabile G si può far corrispondere un operatore lineare hermitiano, cioè avente autovalori solo reali, G i cui autovalori Gn rappresentano i possibili risultati di una misura di G e le autofunzioni corrispondenti φ, determinate dall'equazione =G godono della proprietà che se il sistema si trova nello stato ψ i coefficienti cn dello sviluppo della funzione ψ in serie delle autofunzioni φ(e cioè ψncnφ) sono tali che |cn|² rappresenta la probabilità che la misura di G dia come risultato il valore Gn. In generale, lo stato di un sistema è quantisticamente caratterizzato da un'osservazione massima, intendendo con ciò ogni osservazione del numero massimo di osservabili indipendenti che si possono conoscere contemporaneamente in modo esatto (osservabili compatibili) in base al principio di indeterminazione. Due osservabili A e B sono tra loro compatibili quando i rispettivi operatori A e B sono tra loro commutabili, cioè AB-BA=0. Il procedimento generale della meccanica quantistica è suscettibile di un'interpretazione geometrica molto espressiva, mediante la rappresentazione della funzione di stato ψ e degli operatori corrispondenti alle osservabili nello spazio hilbertiano. Data una funzione f(x) della variabile reale x, monodroma e definita in un intervallo (a, b), eventualmente infinito, gli infiniti valori di x da a a b possono considerarsi come un sistema di infiniti assi coordinati in uno spazio S∞ a infinite dimensioni e la funzione f(x) come un vettore in , tale che un suo particolare valore f (x0) rappresenti la proiezione del vettore f sull'asse x0 (componente x0 del vettore). Tale spazio viene detto spazio funzionale. Analogamente una funzione f(x, x,..., xp) di p variabili, monodroma entro un certo campo C, eventualmente infinito, potrà interpretarsi come un vettore f in uno spazio funzionale ad ∞p dimensioni, in cui ogni suo asse sarà caratterizzato da un gruppo p di numeri (x,...,xp). In fisica quantistica interessano quelle funzioni f(x), denotando con x globalmente le p variabili x,..., xp tali che ʃs f(x)·f(x)*d S è convergente (funzioni a quadrato sommabile), dove f(x)* è la coniugata di f(x). L'integrale precedente, per definizione, è il quadrato del modulo di f. Le funzioni considerate sono rappresentate nello spazio funzionale da vettori di lunghezza determinata e finita, o anche da punti che hanno una distanza finita e determinata dall'origine. L'insieme di questi punti costituisce lo spazio hilbertiano, che è una parte dello spazio funzionale. Ai vettori dello spazio hilbertiano si estendono facilmente le operazioni dei vettori ordinari. La funzione di stato ψ, soluzione dell'equazione temporale di Schrödinger della teoria quantistica, è interpretabile come un vettore dello spazio hilbertiano (vettore di stato). Dato un operatore A corrispondente a un'osservabile A, le sue autofunzioni φ normalizzate che soddisfano all'equazione degli autovalori =Anφ sono interpretabili come versori ortogonali nello spazio hilbertiano; ne deriva che tutto il formalismo che compendia il metodo generale della teoria quantistica è suscettibile di un'interpretazione puramente geometrica nello spazio hilbertiano. Le relazioni che implicano vettori e operatori nello spazio di Hilbert possono esprimersi in modo sintetico ricorrendo alle notazioni di Dirac. Secondo tali notazioni un vettore dello spazio di Hilbert si denota con un segno particolare |>, detto segno di vettore ket. Il complesso coniugato del vettore ket si denota con il simbolo <| e si dice vettore bra. La denominazione di bra e di ket deriva dal fatto che il segno di parentesi viene detto in inglese bracket. Il prodotto scalare di due vettori nello spazio hilbertiano φ=|a> e ψ=|b> si indica <a | b>=(φψ).

Fisica: teoria quantistica relativistica

La meccanica quantistica non relativistica di una particella può essere generalizzata in modo da renderla invariante rispetto a una trasformazione di Lorentz. Questa generalizzazione non risulta univoca, cioè esistono più equazioni che al limite non relativistico si riducono all'equazione di Schrödinger e che si differenziano tra loro perché descrivono particelle dotate di diverso spin. Tra le più importanti si possono ricordare l'equazione di Klein-Gordon per particelle a spin nullo, l'equazione di Dirac per particelle a spin 1/2, l'equazione di Proca-Yukawa per particelle a spin 1. Più difficile è la generalizzazione relativistica della meccanica quantistica dei sistemi di più particelle, perché a velocità relativistiche è possibile la trasformazione di massa in energia e viceversa, per cui si possono avere variazioni di massa delle particelle e fenomeni di annichilazione. Per lo studio dei sistemi quantizzati di particelle interagenti si introduce il metodo basato sulla quantizzazione dei campi d'onda associati alle particelle che impiega un formalismo noto come teoria dei campi.

Fisica: elettrodinamica quantistica e quantocromodinamica

L'elettrodinamica quantistica (QED) è la teoria che descrive l'interazione dell'elettrone con il campo elettromagnetico in cui si muove. Deriva dalla fusione della teoria dell'elettrone di Dirac e della teoria quantistica del campo elettromagnetico. L'elettrodinamica quantistica presentava nella sua prima formulazione difficoltà di carattere teorico apparentemente insormontabili. L'interazione fra due elettroni, per esempio, viene spiegata come effetto dello scambio di fotoni, detti virtuali, tra di essi. Nel calcolo, la probabilità di una tale interazione risultava avere probabilità infinita, cosa ovviamente priva di senso. Gli infiniti comparivano anche nella descrizione dell'elettrone libero. La soluzione delle difficoltà fu ottenuta introducendo un procedimento matematico detto di rinormalizzazione. La teoria rinormalizzata era in grado di predire misure di elettrodinamica con estrema precisione; si tratta, tuttavia, di una teoria intrinsecamente perturbativa, in cui cioè si assume che la costante di accoppiamento α sia piccola dove e è la carica dell'elettrone, h la costante di Planck e c la velocità della luce. In linea teorica non sembrerebbe dunque possibile predire il risultato di una misura fisica con precisione arbitrariamente grande (per esempio cento cifre significative), ma tale problema è puramente concettuale. Tutte le previsioni infatti concordano con i risultati sperimentali entro gli errori di misura. L'esempio più importante è il momento magnetico dell'elettrone, le cui previsione teorica e misura sperimentale concordano fino all'ottava cifra decimale. Nell'elettrodinamica quantistica l'interazione tra due microparticelle (per esempio, due elettroni) avviene attraverso lo scambio di fotoni virtuali. I fotoni virtuali nascono e vivono grazie al piccolissimo grado di indeterminazione esistente tra i livelli di energia e tempo che caratterizza lo "stato oggettivo" delle microparticelle. Il processo di scambio di un fotone virtuale è rappresentato con un diagramma spazio-temporale (diagramma di Feynman). In un diagramma di Feynman nel quale sono rappresentati due elettroni che si avvicinano tra loro, uno di essi emette un fotone virtuale in un punto A, mentre l'altro lo assorbe in un punto B diverso. Dopo aver emesso il fotone, il primo elettrone devia dalla propria direzione e così fa anche il secondo elettrone quando assorbe il fotone. L'interazione completa tra gli elettroni avviene attraverso una serie continua di scambi di fotoni. Ogni particella elettricamente carica emette e riassorbe di continuo fotoni virtuali e/o li scambia con altre particelle cariche. Quando due elettroni (ovvero due cariche dello stesso segno) si scambiano fotoni virtuali, si respingono; quando un protone e un elettrone (ovvero due cariche di segno opposto) si scambiano fotoni virtuali, si attraggono. In termini di fisica classica, si potrebbe dire che le microparticelle esercitano l'una sull'altra una forza repulsiva o attrattiva. È interessante notare come nei suindicati "scambi di forze" nessuna delle due particelle implicate “urta” effettivamente l'altra: esse semplicemente interagiscono mediante lo scambio di fotoni, e la forza non è altro che l'effetto macroscopico collettivo di questi ripetuti scambi di fotoni. Il concetto di forza in fisica subatomica deve perciò lasciare il passo al concetto di interazione tra particelle attraverso campi costituiti da insiemi di fotoni virtuali. Nel caso delle interazioni elettromagnetiche, le particelle virtuali del campo scambiate sono fotoni; nel caso delle interazioni tra nucleoni (protoni, neutroni) le particelle scambiate sono mesoni. Il meccanismo di interazione appena descritto può essere ulteriormente esemplificato immaginando due pattinatori fermi su una lastra di ghiaccio e distanti tra loro qualche metro. La forza repulsiva esistente fra i due individui può essere illustrata attraverso lo scambio di un oggetto: per esempio, una pesante palla. Il primo pattinatore lancia la palla e conseguentemente indietreggia; l'altro riceve la palla e viene da essa spinto all'indietro, cosicché alla fine del processo, i due pattinatori si allontanano reciprocamente. I due pattinatori dell'esempio rappresentano le particelle che interagiscono, la palla è la particella virtuale. Quando un elettrone emette un fotone virtuale che viene assorbito da un altro elettrone, si dice che la microparticella sta interagendo con un'altra particella. Quando invece un elettrone emette un fotone e lo riassorbe, si dice che sta interagendo con se stesso. L'autointerazione rende la realtà delle particelle subatomiche un fenomeno caleidoscopico caratterizzato da incessanti processi di trasformazione. I protoni, come gli elettroni, possono interagire fra loro in più di una maniera. La più semplice autointerazione che può effettuare un protone è rappresentata dall'emissione e dal riassorbimento di un pione virtuale neutro nei tempi consentiti dal principio di indeterminazione. Nel caso in cui, tuttavia, per una qualsiasi ragione, il protone (o qualsiasi altra particella “progenitrice”) scomparisse, il pione virtuale non potrebbe più essere riassorbito; assumerebbe così esso stesso lo status di particella reale. È questo ciò che accade quando un protone incontra un antiprotone: entrambi scompaiono improvvisamente, lasciando il pione e la nube di fotoni virtuali che accompagnano le particelle da soli; queste entità virtuali si presentano così come particelle reali, considerato che il loro “tributo” al principio di indeterminazione è stato fornito dalla massa-energia della coppia protone-antiprotone annichilita. Il formalismo dell'elettrodinamica quantistica prevede che un processo di creazione di entità virtuali possa avvenire anche in assenza di materia, come nel caso di un processo di creazione e annichilazione nel vuoto di particelle virtuali di carica opposta (elettrone-positrone). Nell'elettrodinamica quantistica il vuoto può subire una sorta di “polarizzazione” (e questo in seguito a fluttuazioni spontanee del campo elettromagnetico) consentendo alla materia di nascere spontaneamente. La vita media delle coppie virtuali create è comunque brevissima. Per la coppia elettrone-positrone, per esempio, non può superare il miliardesimo di trilionesimo di secondo (tempo concesso dal principio di indeterminazione per avere massa/energia dal nulla). Gli eventi subatomici appena descritti hanno dato quindi ai fisici una nuova prospettiva per comprendere lo spazio vuoto. Il successo dell'elettrodinamica quantistica ha fatto sì che sia stata presa a prototipo come teoria per le altre interazioni tra particelle elementari, cioè la teoria elettrodebole, relativa alle interazioni elettrodeboli, e la cromodinamicaquantistica (o quantocromodinamica, QCD). Nella prima, le interazioni elettromagnetiche e le interazioni deboli sono trattate unitariamente e, anche in questo caso, l'interazione tra particelle viene mediata da altre particelle: i bosoni vettori W+, W- e Z0. Anche nella teoria elettrodebole è utilizzato un processo di rinormalizzazione. La quantocromodinamica è la teoria che descrive le interazioni nucleari forti assumendo come fondamentali solo alcune particelle dotate di carica elettrica frazionaria: i quark. Le particelle scambiate sono dette gluoni e costituiscono i quanti dei campi di colore. Il colore è una proprietà dei quark analoga alla carica elettrica degli elettroni. Il successo di queste teorie ha portato all'elaborazione di altre modellate sull'elettrodinamica quantistica nella quale le prime due sono trattate unitariamente: le Teorie di Grande Unificazione.

Bibliografia (per la meccanica quantistica)

Richard Feynman, Mathematical formulation of the quantum theory of electromagnetic interaction, in "Selected papers on quantum electrodynamics" (Appendice B), Dover, New York, 1958; Richard Feynman, Theory of fundamental processes, New York, 1961; N. Bohr, Die Entstehung der Quantenmechanik, in “Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit”, Braunschweig, 1961; Chen Ning Yang, Elementary Particles, a Short History of Some Discoveries in Atomic Physics, Princeton, 1961; M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, New York, 1966; M. Bunge (a cura di), Delaware Seminars in Philosophy of Science, Berlino, 1967; idem, Quantum Theory and Reality, Berlino, 1967; K. Popper, The Logic of Scientific Discovery, Londra, 1968; E. Agazzi, Temi e problemi di filosofia della fisica, Milano, 1969; C. J. Isham e A Salam, Elettrodinamica quantistica e gravitazione, in S&T 73, Milano, 1973; B. Carezza, G. P. Guidetti, Origini della teoria dei quanti, Parma, 1990.